Pierādījuma uzdevums par trapeci, kurā atkārto pamatskolas ģeometrijas zināšanas.
Dota vienādsānu trapece . Trapeces diagonāle ir leņķa bisektrise un ir perpendikulāra sānu malai (skat. att.).
Pierādi, ka
a) trijstūris ir vienādsānu,
b) ,
c) trijstūra laukums ir 2 reizes lielāks nekā trijstūra laukums.
Risinājums
a) Trapeces pamati ir paralēli. Leņķi un ir vienādi, jo tie ir šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm (paralēlas taisnes un krusto ).
Dots, ka \(AC\) ir bisektrise, tātad .
No abām vienādībām var secināt, ka . Ja trijstūrim ir vienādi divi leņķi, tad tas ir vienādsānu trijstūris.
Tātad trijstūris \(ABC\) ir vienādsānu trijstūris.
b) Trijstūrī abu šauro leņķu summa ir 90 grādi.
Tā kā trapece ir vienādsānu, tad leņķi pie pamata ir vienādi.
- trapeces šaurā leņķa puse, jo bisektrise \(AC\) dala leņķi uz pusēm.
Taisnleņķa trijstūrī katete pret 30° leņķi ir puse no hipotenūzas, tātad .
Varēja arī izmantot to, ka trapeces malas pieleņķu summa ir 180°.
c) Salīdzina vienādsānu trijstūra \(ABC\) un taisnleņķa trijstūra laukumus.
Vienādsānu trijstūrim izmantosim formulu , kur ir leņķis starp malām \(a\ \)un \(b\).
Taisnleņķa trijstūra laukums ir katešu reizinājuma puse.
Tātad trijstūra laukums ir 2 reizes lielāks nekā trijstūra laukums.
Tas bija jāpierāda.
Iepazīsties ar šāda uzdevuma iespējamiem vērtēšanas kritērijiem!
a) Par pamatojumu, ka trijstūris ir vienādsānu - 1p
b) Par trapeces šaurā leņķa iegūšanu un pamatošanu - 1p
Par vienādības pamatošanu - 1p
c) Par laukumu sakarības pamatošanu kopā 2p
Ja pamatojums ir korekts, visi apgalvojumi pamatoti - 2p
Ja kādā no apgalvojumiem balstās uz nepamatotu vai nekorektu faktu vai nekorekti lietoti matemātikas jēdzieni - 1p
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa
2013. gada matemātikas eksāmens.