5. Četrstūra laukuma formula ar diagonālēm. Pierādījums

Pierādīsim šo sakarību, izmantojot trijstūra laukuma formulu: $S_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\mathit{ab}\sin \mathrm{\gamma }$, kur $\mathrm{\gamma }$ ir leņķis starp malām \(a\) un \(b\).

 

Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Paralelograma laukums ir četru trijstūru laukumu summa, kur trijstūri pa pāriem ir vienādi (pēc pazīmes mlm).

 

 

Ievērojam, ka visu četru trijstūru laukumi ir vienādi.

Saskaitot visu četru trijstūru laukumus (vai pareizinot vienu laukumu ar 4), iegūst paralelograma laukumu:

 

Laukuma formula ar diagonālēm ir spēkā jebkuram izliektam četrstūrim $S=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\sin \mathrm{\beta }$, kur $d_1,d_2$ ir diagonāles, diagonāles veido leņķi $\mathrm{\beta }$.

 

Pierādījums ir līdzīgs iepriekšējam.

Patvaļīgam četrstūrim diagonāles krustpunktā nedalās uz pusēm. Tāpēc diagonāļu nogriežņus apzīmēsim ar \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), kur $d_1=a+c,d_2=b+d$.

Uzrakstām četrstūra laukumu kā četru trijstūru laukumu summu, izmantojam, ka $\sin \left(180\mathrm{°}-\mathrm{\beta }\right)=\sin \mathrm{\beta }$.

 

Tas bija jāpierāda.