Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Teorēma. Izliekta \(n\)-stūra leņķu summa ir vienāda ar 180°n2, ja n3.
Šo teorēmu var pierādīt ar matemātisko indukciju.
Lai varētu lietot matemātiskās indukcijas metodi, nedaudz izmainīsim uzdevuma formulējumu: pierādi apgalvojumu \(A(n)\): izliekta \((\)\(n+2)\)-stūra leņķu summa ir vienāda ar 180°n, jebkuram naturālam \(n\).
 
1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai ir patiess apgalvojums \(A(1).\)
Trijstūra iekšējo leņķu summa ir vienāda ar \(180°\), to var pierādīt ar teorēmu par trijstūra leņķu summu.
Pierādījums.
Caur trijstūra virsotni novelk taisni \(a\), kas paralēla trijstūra malai.
YCUZD_220722_4127_leņķī.svg
Zaļie leņķi vienādi kā kāpšļu leņķi, arī zilie leņķi vienādi kā kāpšļu leņķi, dzeltenie leņķi vienādi kā krustleņķi. Redzam, ka visi trīs trijstūra leņķi veido izstieptu leņķi, kas ir \(180°\).
 
2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess.
Izliekta \((k\)\(+2)\)-stūra leņķu summa ir vienāda ar 180°k.
 
3) Induktīvā pāreja. Pierāda, ka patiess ir arī apgalvojums \(A(k+1).\)
Jāpierāda, ka izliekta \((k+1)+2\)  -stūra leņķu summa ir vienāda ar 180°k+1.
 
Izvēlamies divas \((k+1)+2\)  -stūra virsotnes, kas atrodas vistuvāk kādai citai virsotnei un novelkam diagonāli (zīmējumā sarkanā krāsā).
  
YCUZD_220722_4125_3.svg
 
Šī diagonāle sadala \((k+1)+2\)  -stūri divās figūrās: \((k+2)\)-stūrī un trijstūrī.
 
\((k+1)+2\)  -stūra iekšējo leņķu summu var iegūt, ja saskaita \((k+2)\)-stūra leņķu summu ar trijstūra iekšējo leņķu summu, kas ir \(180°.\)
 
Pēc induktīvā pieņēmuma \((k+2)\)-stūra leņķu summa ir 180°k.
Tātad \((k+1)+2\)  -stūra iekšējo leņķu summa ir 180°k+180°=180°k+1, kas bija jāpierāda.
  
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.
Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa 
Энциклопедия для детей, Mатематика. Москва:Аванта+, 2005, izm. 569.lpp