Pierāda kosinusa teorēmu — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Dots: Patvaļīgs trijstūris

Jāpierāda: kosinusa teorēma:

trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu,
no kuras atņemts šo malu reizinājums ar kosinusu leņķim starp šīm malām.
trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu,
no kuras atņemts divkāršots šo malu reizinājums ar kosinusu leņķim starp šīm malām.

Pierādījums

Uzzīmē taisnleņķa trijstūri \(ABC\).

Uz trijstūra malām izvēlas vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru .

Apzīmējam

\vec{CB} = \vec{a}, \vec{CA} = \vec{b}, \vec{AB} = \vec{c}

Redzam, ka

\vec{c} = \vec{i} - \vec{b}

. Raksti mazo burtu!

Sakarības abas puses kāpina kvadrātā (izdari to).

Pēc definīcijas skalārais reizinājums

$2 ab$
$ab \cdot \cos C$
0

Vektora skalārais kvadrāts ir vienāds ar tā garuma kvadrātu, tāpēc

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot \cos C

, kur leņķi \(C\) veido trijstūra malas \(a\) un \(b\).

Tas bija jāpierāda.

Piemērs:

Zināms, ka zīmējumā redzamā trijstūra mala $CB = 2 cm$ un $CA = 3 cm$ . Leņķis $C$ ir 60°. Aprēķini malas $AB$ garumu!

AB = \sqrt{i} cm

.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Iepriekšējais uzdevums

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties