2. Planimetrija II dokumentos

Pēc valsts vispārējās vidējās izglītības standarta, vidusskolēni augstākajā apguves līmenī pilnveido savas zināšanas planimetrijā.

 

Skat. dokumentu:

 

  

Lieto planimetrijas zināšanas praktiskos kontekstos, kas saistīti ar navigāciju, mērniecību.

 

1. No laivu piestātnes laiva A ir 9,31 km attālumā ar azimutu 64°, bet laiva B ir 9,02 km attālumā ar azimutu 119° (sk. attēlu). Piestātnē saņēma zvanu ar lūgumu pēc palīdzības no laivas C, kas ir 11,13 km attālumā no piestātnes ar azimutu 90°. Kura no laivām – A vai B – ir tuvāk laivai C? Pa kādu azimutu jādodas tuvākajai laivai, lai tā sniegtu palīdzību laivai C? šeit un šeit.

 

2. Tēvs diviem dēliem mantojumā atstāja zemes gabalu, kuram ir izliekta četrstūra forma (sk. zīmējumu). Tas jāsadala tā, lai katrs no dēliem iegūtu tieši pusi no visas zemes gabala platības (katram dēlam piešķirtā zeme var sastāvēt no vairākām daļām, arī no tādām, kuras nesaskaras viena ar otru).

a) Attēlo zīmējumā un īsi paskaidro, kā var sadalīt zemes gabalu atbilstoši nosacījumiem.

b) Pamato, ka izveidotajā sadalījumā katrs no dēliem iegūs tieši pusi no visas zemes gabala platības. šeit

 

 

Definē centra leņķi un ievilktu leņķi. Skaidro jēdzienus un saistību starp tiem: riņķa līnijas garums, pilns leņķis, riņķa līnijas loks, riņķa līnijas loka garums, riņķa līnijas loka leņķiskais lielums, centra leņķis, centra leņķa lielums, ievilkts leņķis.

Pēta, formulē un pierāda sakarības starp leņķiem, kas saistīti ar riņķa līniju. šeit.

 

1. Dots, ka \(AB\) ir diametrs, \(O\) – riņķa centrs un \(C\) – punkts uz riņķa līnijas.

Pierādi, ka

a) $\sphericalangle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\sphericalangle \mathit{AOC}$; šeit.

b) uzdevumā a) pierādītais apgalvojums – ievilkta leņķa lielums ir puse no centra leņķa lieluma, ja tie abi balstās uz vienu un to pašu riņķa līnijas loku – ir patiess arī tad, ja riņķa centrs atrodas ievilktā leņķa iekšpusē vai ārpusē.

 

2. Izmanto 1. uzdevumā pierādīto un formulē secinājums par ievilkto leņķu $\sphericalangle A{B}_{1}C,\sphericalangle A{B}_{2}C,\sphericalangle A{B}_{3}C,$,… lielumiem, ja $A, C, B_1, B_2, B_3$,… ir punkti uz vienas riņķa līnijas. Salīdzini ar citu formulētajiem secinājumiem, ja nepieciešams, precizē rezultātus.

 

3. Par trijstūri \(ABC\) zināms, ka $\sphericalangle A=\mathrm{\alpha }$ un $\mathit{BC}=a$. Aprēķini ap trijstūri \(ABC\) apvilktās riņķa līnijas rādiusu. šeit

 

Definē hordu, sekanti. Pēta, formulē un pierāda sakarības starp leņķiem, ja tie saistīti ar riņķa pieskari, hordu vai sekanti.

 

Piemēri. 1. Dots, ka hordas \(AB\) un \(CD\) krustojas punktā \(P\). Pierādi, ka $\sphericalangle \mathit{CPB}=\frac{1}{2}\left(\cup \stackrel{}{\mathit{CB}}+\cup \stackrel{}{\mathit{AD}}\right).$ šeit.

 

2. Sekantes \(SE\) un \(SF\) krusto riņķi attiecīgi punktos $E_1$ un $F_1$. Izpēti, formulē un pierādi sakarību starp leņķi \(ESF\), loku \(\breve{EF}\) un loku $E_1{F}_1$. šeit.

3. Dots apgalvojums: ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju tad un tikai tad, ja četrstūra pretējo leņķu lielumu summa ir \(180\)°.

a) Formulē tiešo un apgriezto apgalvojumu.

b) Pierādi apgalvojumu patiesumu.

Komentārs. Izskati iespēju izmantot arī pierādījumu no pretējā.

 

Lieto trijstūru līdzību un jau pierādītās figūru īpašības jaunās situācijās, lai pierādītu sakarības starp nogriežņiem, kas saistīti ar riņķa līniju.

 

1. Dots, ka hordas \(AB\) un \(CD\) krustojas punktā \(P\). Pierādi, ka \(AP·PB=CP·PD.\)

2. Pierādi apgalvojumu: ja četrstūris ir apvilkts ap riņķi, tad tā pretējo malu summas ir vienāda garuma.

 

  

Pierāda Pitagora teorēmu, kosinusu teorēmu, lietojot vektorus. Pēta, formulē un pierāda sakarības starp nogriežņiem un leņķiem trijstūrī.

1. Vai eksistē taisnleņķa trijstūris, kura hipotenūzas garums ir 5 cm, bet garums augstumam, kas novilkts pret hipotenūzu, ir: a) 2 cm, b) 3 cm? Ja trijstūris eksistē, uzzīmē to un pamato tā atbilstību dotajiem nosacījumiem. Ja trijstūris neeksistē, pamato to.

 

2. Pierādi, ka taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts pret hipotenūzu, ir vidējais proporcionālais starp katešu projekcijām uz hipotenūzas.

 

3. *Atrodi informāciju un veido apkopojumu par formulām/sakarībām, kas ļauj aprēķināt garumu patvaļīga trijstūra raksturīgajiem nogriežņiem (augstums, mediāna, bisektrise). Veido vai atrodi un skaidro citiem pierādījumu vienai no formulām, uzklausi citu veidotos pierādījumus.

 

Pierāda un lieto sakarības starp raksturīgajiem nogriežņiem regulārā trijstūrī, kvadrātā, regulārā sešstūrī, regulārā n-stūrī.

Piemēri.

1. Aprēķini regulāra trijstūra laukumu, ja trijstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiuss ir r. šeit. šeit.

2. Ap kvadrātu apvilkta riņķa laukums ir \(S\). Aprēķini kvadrātā ievilkta riņķa laukumu. Līdzīgs.

3. Pierādi ap regulāru n-stūri apvilktās riņķa līnijas rādiusa aprēķināšanas formulu $R=\frac{a}{2\sin \frac{180\text{°}}{n}}$. Uzdevumi šeit un šeit.

 

Pierāda un lieto plaknes figūru laukuma aprēķināšanas formulas, lieto laukuma īpašības, plaknes figūru īpašības.

 

Piemēri.

1. Pierādi trijstūra laukuma aprēķināšanas formulu \(S=pr\), kur \(r\) – ievilktās riņķa līnijas rādiuss, p – pusperimetrs.

2. Pierādi paralelograma laukuma aprēķināšanas formulu , kur – paralelograma diagonāles un – leņķis starp tām $S_{\mathit{paral}}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\mathit{sin}\mathrm{\beta }$.

 

Veido un pamato konstrukcijas gaitu jaunā situācijā.

 

Piemērs. Veic izpēti un apraksti, kā ar cirkuli un lineālu bez skalas dotu nogriezni \(AB\) sadalīt divos nogriežņos, ievērojot t.s. zelta griezuma proporciju, t. i. konstruēt tādu nogriežņa \(AB\) punktu \(C\), ka \(AB:AC=AC:CB\).

 

Risina uzdevumu, kura atrisināšanai nepieciešams saistīt planimetriju un kombinatoriku. šeit.

Lieto MIP, lai pierādītu vispārīga apgalvojuma patiesumu planimetrijā. šeit un šeit.

 

Piemēri.

1. Izliektā a) astoņstūrī, b) n- stūrī novilktas visas diagonāles. Cik krustpunktu veidojas, ja zināms, ka katrā krustpunktā krustojas tieši divas diagonāles? šeit.

 

2. Pierādi apgalvojumu: ja plaknē novilkts galīgs skaits taišņu, tad plakni var iekrāsot divās krāsās tā, lai divi plaknes apgabali ar kopīgu malu būtu iekrāsoti atšķirīgās krāsās (apgabali, kuriem ir kopīga tikai viena virsotne, var būt iekrāsoti vienā krāsā). šeit.

 

Risina uzdevumu, kura atrisināšanai nepieciešams saistīt planimetriju un matemātisko analīzi.

Piemēri.

 

1. Izliekta četrstūra diagonāļu garumu summa ir \(a\). Nosaki lielāko iespējamo šī četrstūra laukumu. šeit.

 

2. Vienādsānu trijstūra pamata malas garums ir \(2a\) un garums augstumam pret pamatu – \(2a\). Trijstūrī ievilkts taisnstūris \(ABCD\) tā, ka mala \(AD\) atrodas uz trijstūra pamata malas, bet virsotnes \(B\) un \(C\) uz trijstūra sānu malām. Nosaki un pamato lielāko iespējamo taisnstūra \(ABCD\) laukumu.