Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Teorēma. Trijstūra visas trīs mediānas krustojas vienā punktā. Šis punkts sadala katru mediānu divos nogriežņos, kuru garumu attiecība ir \(2:1\), skaitot no virsotnes.
Pierādīsim šo teorēmu, izmantojot paralelograma diagonāļu un trijstūra viduslīnijas īpašības.
mediānaī.svg
Dots: ΔABC, kur punkts \(O\) ir mediānu BB1 un CC1 krustpunkts.
Jāpierāda: arī mediāna AA1 iet caur punktu \(O\).
BOOB1=21;COOC1=21;AOOA1=21
 
Pierādījums
Novelk staru \(AO\).
Šī stara krustpunktu ar malu \(BC\) apzīmē ar A1.
Uz stara BB1 atliek punktu \(F\) tā, lai B1F=B1O.
Četrstūris \(AOCF\) ir paralelograms, jo tā diagonāles \(AC\) un \(OF\) krustpunktā B1 dalās uz pusēm.
(paralelograma pazīme).Tas nozīmē, ka \(OC=AF\), OCAF kā paralelograma malas.
 
Tādā gadījumā arī OC1AF, kas nozīmē, ka C1O ir trijstūra \(ABF\) viduslīnija.
Tāpēc \(OB=OF,\) kā trijstūra mala, ko viduslīnija sadala uz pusēm.
Tā kā OF=2OB1 (jo diagonāle krustpunktā dalās uz pusēm), tad arī BO=2OB1.
Tātad OB1=12BO
Līdz ar to BOOB1=21.
 
C1O=12AF=12OC, tātad AOOA1=21
 
 
Pierādīsim, ka AA1 ir mediāna.
mediānaī.svg
Tā kā  AOFC, kā paralelograma malas, tad arī OA1FC.
Bet jau zinām, ka \(OB=OF\). Tāpēc OA1 ir trijstūra \(FBC\) viduslīnija un līdz ar to A1B=A1C, jo viduslīnija trijstūra malu dala uz pusēm.
 
Tātad AA1 ir mediāna, kas iet caur punktu \(O\).
OA1=12CF=12AO
Tātad AOOA1=21
 
Tas bija jāpierāda.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa