Mediānas īpašības 2:1 pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Teorēma. Trijstūra visas trīs mediānas krustojas vienā punktā. Šis punkts sadala katru mediānu divos nogriežņos, kuru garumu attiecība ir \(2:1\), skaitot no virsotnes.

Pierādīsim šo teorēmu, izmantojot paralelograma diagonāļu un trijstūra viduslīnijas īpašības.

Dots:

Δ ABC

, kur punkts \(O\) ir mediānu

B B_{1}

C C_{1}

krustpunkts.

Jāpierāda: arī mediāna

A A_{1}

iet caur punktu \(O\).

\frac{BO}{O B_{1}} = \frac{2}{1}; \frac{CO}{O C_{1}} = \frac{2}{1}; \frac{AO}{O A_{1}} = \frac{2}{1}

Pierādījums

Novelk staru \(AO\).

Šī stara krustpunktu ar malu \(BC\) apzīmē ar

A_{1}

Uz stara

B B_{1}

atliek punktu \(F\) tā, lai

B_{1} F = B_{1} O

Četrstūris \(AOCF\) ir paralelograms, jo tā diagonāles \(AC\) un \(OF\) krustpunktā

B_{1}

dalās uz pusēm.

(paralelograma pazīme).Tas nozīmē, ka \(OC=AF\),

OC ∥ AF

kā paralelograma malas.

Tādā gadījumā arī

O C_{1} ∥ AF

, kas nozīmē, ka

C_{1} O

ir trijstūra \(ABF\) viduslīnija.

Tāpēc \(OB=OF,\) kā trijstūra mala, ko viduslīnija sadala uz pusēm.

Tā kā

OF = 2 O B_{1}

(jo diagonāle krustpunktā dalās uz pusēm), tad arī

BO = 2 O B_{1}

Tātad

O B_{1} = \frac{1}{2} BO

Līdz ar to

\frac{BO}{O B_{1}} = \frac{2}{1}

C_{1} O = \frac{1}{2} AF = \frac{1}{2} OC

, tātad

\frac{AO}{O A_{1}} = \frac{2}{1}

Pierādīsim, ka

A A_{1}

ir mediāna.

Tā kā

AO ∥ FC

, kā paralelograma malas, tad arī

O A_{1} ∥ FC

Bet jau zinām, ka \(OB=OF\). Tāpēc

O A_{1}

ir trijstūra \(FBC\) viduslīnija un līdz ar to

A_{1} B = A_{1} C

, jo viduslīnija trijstūra malu dala uz pusēm.

Tātad

A A_{1}

ir mediāna, kas iet caur punktu \(O\).

O A_{1} = \frac{1}{2} CF = \frac{1}{2} AO

Tātad

\frac{AO}{O A_{1}} = \frac{2}{1}

Tas bija jāpierāda.

Formulas

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

13. Mediānas īpašības 2:1 pierādījums

Teorija