Divkārša argumenta trigonometriskās funkcijas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Lietojot argumentu saskaitīšanas formulas, var iegūt dubultleņķu formulas, pēc kurām funkcijas

sin2 x

cos2 x

tg2 x

var izteikt ar leņķa \(x\) funkcijām.

Matermātika I kursā iepazini sinusa un kosinusa dubultleņķu formulas.

Zināms, ka

\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y

x = y

, tad

\sin (x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x

\begin{array}{l} \sin 2 x = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x \\ \sin 2 x = 2 \sin x \cdot \cos x \end{array}

\( \)
Divkārša leņķa sinuss ir vienāds ar divkāršotu leņķa sinusa un leņķa kosinusa reizinājumu.

Identitātē

\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y

, ievietojot

x = y

, iegūst

\cos (x + x) = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Divkārša leņķa kosinuss ir vienāds ar starpību starp leņķa kosinusa kvadrātu un leņķa sinusa kvadrātu.

Līdzīgi iegūst arī formulu

tg2 x

izteikšanai.

Aplūkosim tangensa no argumentu summas formulu:

tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}

x = y

, tad

tg (x + x) = \frac{tg x + tg x}{1 - tg x \cdot tg x}

Iegūst tangensa divkāršā argumenta formulu:

tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}

, kur

x \neq \frac{π}{2} + π n; 2 x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ

Formula ir dota Matemātika II formulu lapā

Piemērs:

Aprēķini

tg 2 α

, ja zināms, ka

tg α = 3

α

pieder pirmam kvadrantam.

Risinājums

tg 2 α = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^{2}} = \frac{6}{- 8} = - \frac{3}{4}

Varam secināt, ka leņķis

2 α

ir otrā kvadranta leņķis, jo tangensa vērtība negatīva.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

8. Divkārša argumenta trigonometriskās funkcijas