10. Funkcija y=arctgx

Kā zināms, funkcijai $y=f\left(x\right)$ kādā intervālā $\left(a;b\right)$ eksistē inversā funkcija tikai tad, ja tā šajā intervālā ir monotona, t.i., tikai aug vai tikai dilst. Tādējādi, lai iegūtu kādas trigonometriskās funkcijas inverso funkciju, vispirms jānosaka intervāls, kurā šī trigonometriskā funkcija ir monotona.

 

Tā kā intervālā $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ tangenss ir monotoni augoša funkcija, tad šajā intervālā tai eksistē inversā funkcija.

No izteiksmes $y=\mathrm{tg}x$ iegūstam $x=\mathrm{arctg}y$.

Šī vienādība definē \(x\) kā \(y\) funkciju, un tās jēga ir šāda: "\(x\) ir tāds skaitlis no intervāla $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$, kura tangensa funkcijas vērtība ir \(y\)".

 

Tā kā argumentu apzīmē ar \(x\), bet funkcijas vērtību - ar \(y\), tad mainot apzīmējumus, iegūstam funkcijas izteiksmi $y=\mathrm{arctg}x$.

 

  

Definīcijas apgabals: $D\left(\mathrm{arctg}\right)=E\left(\mathrm{tg}\right)=\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Vērtību apgabals: $E\left(\mathrm{arctg}\right)=D\left(\mathrm{tg}\right)=\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$.

Arktangenss ir nepāra funkcija: $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$.

Arktangenss ir augoša funkcija visā savā definīcijas apgabalā $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Arktangensa funkcijas grafiku iegūst, attēlojot funkcijas $y=\mathrm{tg}x$ grafiku intervālā $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ simetriski attiecībā pret taisni $y=x$.

  

$\begin{array}{l}\mathrm{arctg}0=0=0\mathrm{°}\\ \mathrm{arctg}1=\frac{\mathrm{\pi }}{4}=45\mathrm{°}\\ \mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=-45\mathrm{°}\\ \mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}=30\mathrm{°}\\ \mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}=60\mathrm{°}\\ \mathrm{arctg}\left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}=-60\mathrm{°}\end{array}$