Periodiska procesa modelēšana. Sinusa funkcija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

SKOLA 2030 prasme

Apraksta ciklisku/periodisku procesu (doti vai iegūti dati) ar funkciju, izvērtē matemātisko modeli, formulē secinājumus.

Dabā ir sastopami cikliski/periodiski procesi, piemēram, paisums un bēgums, dienas garums un nakts garums. Pētot periodiskus procesus, datu kopas grafiks var būt trigonometriska funkcija.

Aplūkosim, kā no grafika iegūt trigonometriskas funkcijas

y = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d

analītisko izteiksmi.

Ievēro, ka

y = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d

var iegūt no sinusa funkcijas, veicot pārbīdi pa \(Ox\) asi. Viena procesa sinusa vai kosinusa funkcija atšķirsies tikai ar parametru \(c\).

Kā iegūst katru no parametriem?

1) Amplitūda

a = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2}

2) Lai noteiktu \(b\), nolasa periodu. Tā kā

T = \frac{2 π}{b}

, tad

b = \frac{2 π}{T}

3) Pārbīde pa \(Oy\) asi

d = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2}

4) Parametrs \(c\) ir grafika nobīde pa \(Ox\) asi.

Piemērs:

Par kādu ciklisku procesu iegūtos datus attēlojot ar IT grafiski, ieguva attēlā doto līkni. Nosaki attēlā redzamās funkcijas analītisko izteiksmi!

a = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \frac{3 - (- 1)}{2} = 2

2) Nosakām periodu, nolasot attālumu starp grafika diviem zemākajiem punktiem:

Punktu koordinātas var ar IT rīku (skat. attēlā zemāk). Ja grafiks dots uz papīra, tad iztiekam ar ļoti aptuvenām koordinātām.

T = 4,225 - (- 0,075) = 4,3

Tātad

b = \frac{2 π}{4,3}

Jābūt ļoti uzmanīgiem ar precizitātes izvēli. Tā kā skaitītājs un saucējs maz atšķiras, skaitļa

π

precizitāte nozīmīgi ietekmē rezultātu.

Piemēram, ja

π

\( = 3\), tad \(b\) ir aptuveni 1,395349.

π

\(=\)3,141593, tad \(b\) ir 1,461206.

Jāizvērtē, līdz cik vienībām aiz komata ir jēga noapaļot dalījumu, atkarībā no

π

izvēlētās precicitātes.

Lai saglabātu maksimālu precizitāti, parametru \(b\) var atstāt kā daļu

b = \frac{2 π}{4,3}

d = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \frac{3 + (- 1)}{2} = 1

4) Lai noteiktu parametru \(c\), novelk taisni \(y=1\). Attiecībā pret šo taisni sinusa funkcijas grafiks ir nobīdīts par \(1\) vienību pa labi.

Tātad \(c=1\).

Funkcija ir

y = 2 \sin (\frac{2 π}{4,3} (x - 1)) + 1

Ja mēs izvēlētos kosinusa funkciju, tad pārbīde pa \(x\) asi būtu \(2.075\) vienības pa labi.

y = 2 \cos (\frac{2 π}{4,3} (x - 2,075)) + 1

Lai pārbaudītu, cik lielā mērā iegūtā funkcija atbilst cikliskajam procesam, IT rīkā nepieciešams ievadīt gan datus, gan iegūto funkciju. Šajā gadījumā dati nav doti.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

SKOLA2030 kursu materiāli

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

14. Periodiska procesa modelēšana. Sinusa funkcija

Teorija