Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība (pierādījums) — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Pierādi, ka binomiālā varbūtību sadalījuma sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(x)=3p\), kur \(3\) – neatkarīgo mēģinājumu skaits, \(p\) – labvēlīga notikuma iestāšanās varbūtība.

Noskaidrosim, ko zinām par sagaidāmo vērtību un binomiālo varbūtību sadalījumu.

1) Par diskrēta gadījuma lieluma \(X\) sagaidāmo vērtību (jeb matemātisko cerību) sauc skaitli

E (i) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} i_{i}

2) Lai aprēķinātu varbūtību, ka notikums \(A\) iestāsies \(n\) mēģinājumos tieši \(m\) reizes, var izmantot Bernulli formulu.

\begin{array}{l} P (X = m) = i_{n}^{m} \cdot i^{m} \cdot q^{n - m}, \\ q = i \end{array}

3) Zinām, ka varbūtības, kuras aprēķina ar Bernulli formulu, ir Ņūtona binoma izvirzījuma locekļi.

Ja mēģinājumu skaits \(n=3\), gadījuma notikumam \(X\) ir četri gadījumi:

x_{1} = i; x_{2} = i; x_{3} = i; x_{4} = 3

un to atbilstošās varbūtības ir sekojošas:

1 q^{3}; i q^{2} p; i p^{2} q; 1 p^{3}

Ievietosim gadījuma notikuma \(X\) vērtības un to varbūtības sagaidāmās vērtības \(E(X) \) formulā un

veiksim pārveidojumus:

\begin{array}{l} E (X) = i \cdot q^{3} + i q^{2} p + i q p^{2} + i p^{3} = \\ = 3 {(1 - p)}^{2} p + 6 (1 - p) p^{2} + 3 p^{3} = \\ = i p (1 - 2 p + p^{2}) + i p^{2} - i p^{3} + i p^{3} = \\ = i \end{array}

Atrisini uzdevumu!

Varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,87. Mērķī šauj trīs reizes. Gadījuma lielums \(X\) ir trāpījumu skaits. Aprēķini gadījuma lieluma \(X\) sagaidāmo vērtību!

Sagaidāmā vērtība ir .

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

https://mape.skola2030.lv/resources/9482

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Iepriekšējais uzdevums

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!