Eksponenciālā augšana. Banku rēķini — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim eksponenciāli augoša procesa piemēru.

Bankā noguldīti 800 eiro ar salikto procentu likmi 4% gadā. Aprēķini cik liela būs noguldījuma summa pēc 20 gadiem. Nosaki formulu, ar kuras palīdzību var aprēķināt noguldījuma summu pēc $n$ gadiem, ja noguldījuma procenti netiek mainīti.

Ievēro! Saliktos procentus (procentu procentus) izmanto tad, ja atlīdzība par naudas darījumu tiek sadalīta vairākos periodos, turklāt procenti tiek aprēķināti gan no sākuma kapitāla, gan no procentiem, kas uzkrājušies iepriekšējā periodā.

Uzrakstīsim izteiksmi, kas izsaka, kāda būs noguldījuma summa (eiro) pēc viena gada.

\begin{array}{l} 800 + 4 % no 800 = \\ = \underline{800} + 0,04 \cdot \underline{800} = \\ = \underline{800} (1 + 0,04) \end{array}

Izmantojot iegūto izteiksmi, noteiksim, kāda būs noguldījuma summa (eiro) pēc diviem gadiem.

\begin{array}{l} 800 \cdot (1 + 0,04) + 4 % no 800 \cdot (1 + 0,04) = \\ = \underline{800 \cdot (1 + 0,04)} + 0,04 \cdot \underline{800 \cdot (1 + 0,04)} = \\ = \underline{800 \cdot (1 + 0,04)} \cdot (1 + 0,04) \\ = 800 \cdot {(1 + 0,04)}^{2} \end{array}

Cik eiro noguldījuma summa būs pēc trīs gadiem?

$\begin{array}{l} 800 {\cdot (1 + 0,04)}^{2} + 4 % no 800 {\cdot (1 + 0,04)}^{2} = \\ = \underline{800 {\cdot (1 + 0,04)}^{2}} + 0,04 \cdot \underline{800 {\cdot (1 + 0,04)}^{2}} = \\ = \underline{800 {\cdot (1 + 0,04)}^{2}} \cdot (1 + 0,04) = \\ = 800 {\cdot (1 + 0,04)}^{3} \end{array}$

Viegli redzēt, ka pēc $t$ gadiem noguldījuma summa būs

800 \cdot {(1 + 0,04)}^{t}

eiro.

Ja funkciju apzīmē ar $N,$ iegūst formulu:

N (t) = 800 \cdot {(1,04)}^{t}

Tā kā $t$ ir vesels skaitlis (gadi), tad funkcija veido skaitļu virkni un to ir pieņemts rakstīt sekojoši:

N_{t} = 800 \cdot {(1,04)}^{t}

Vispārīgā gadījumā bankā noguldītā naudas summa un procenti ir mainīgi.

Ja sākuma kapitālu apzīmē ar

N_{0}

un procentu likmi ar $p$, iegūst formulu, ar kuru var aprēķināt noguldījuma summu pēc $t$ gadiem

N_{t} = N_{0} {(1 + \frac{p}{100})}^{t}

Atgriežamies pie dotā uzdevuma.

Ievietojot parametrus var aprēķināt, kāda naudas summa bankā būs pēc 20 gadiem.

\begin{array}{l} N_{0} = 800 \\ p = 4 \\ t = 20 \end{array}

N_{20} = 800 \cdot {(1,04)}^{20} \approx 1752,9

(eiro).

Lai aprēķinātu naudas summu, atliek funkcijā ievietot atbilstošos parametrus.

Aplūkosim jautājumu, uz kuru atbildot, ir jārēķina vienādojums.

Bankā noguldīti 800 eiro ar salikto procentu likmi 4% gadā. Aprēķini, pēc cik gadiem naudas summa divkāršosies?

\begin{array}{l} N_{t} = 800 \cdot {(1,04)}^{t} \\ 800 \cdot {(1,04)}^{t} = 2 \cdot 800 | : 800 \\ {(1,04)}^{t} = 2 \end{array}

Izteiksmi pārveido pēc logaritma definīcijas. Izsakot kāpinātāju $t$, iegūst:

{t = \log}_{1,04} 2

Logaritmu aprēķina ar IT palīdzību, vispirms pārejot uz decimāllogaritmu vai uz naturāllogaritmu, pēc formulas:

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

\begin{array}{l} {t = \log}_{1,04} 2 \\ t = \frac{\ln 2}{\ln 1,04} \\ t \approx 17,67 \approx 18 \end{array}

Tātad naudas summa dubultosies pēc 18 gadiem.

Pārbaude:

800 \cdot {1,04}^{18}

\approx

1620,653 (eiro)

Redzam, ka pēc $17$ gadiem naudas summa vēl nebūs sasniegusi $1600$ eiro:

800 \cdot {1,04}^{17}

\approx

1558,32 (eiro)

Komentārs par vienādojumu atrisinājumu, kuros aprēķina laiku

Ievēro, ka parasti skaitļus noapaļo pēc skaitļu noapaļošanas likumiem. Ja skaitli, kas izsaka laiku, noapaļo ar iztrūkumu, rodas situācija, ka vēl nebūs sasniegta nepieciešamā vērtība (nauda, masa u.c.). Tādā gadījumā vajadzētu pieskaitīt vēl vienu laika vienību. Tāpēc Uzdevumi.lv šī veida uzdevumos prasa aprēķināt aptuveno laika vienību skaitu vai arī norāda - noapaļot līdz simtdaļām vai desmitdaļām.

Piemēram, jautājums - pēc cik gadiem būs sasniegta noteikta summa, vai - cik gadiem jāpaiet, lai būtu sasniegta noteikta summa, nepieļauj noapaļošanu ar iztrūkumu.

Rēķinot konkrētu uzdevumu klasē, noapaļojot līdz veselai laika vienībai, to jāņem vērā!

Salikto procentu formula matemātika I formulu lapā.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Eksponenciālā augšana. Banku rēķini

Teorija