Eksponenciālā augšana. Koksnes daudzums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Eksponenciālo augšanu raksturo eksponentfunkcija

y = y_{0} \cdot a^{kt}

, kur

bāze $a>1$, $t$- laiks,
$y_{0}$ - lieluma $y$ vērtība laika atskaites sākumā ($t=0$),
k ir proporcionalitātes koeficients, $k>0$.

Procesu, kuru apraksta ar funkciju

y = y_{0} \cdot a^{kt}

, sauc par eksponenciāli augošu procesu.

Sarežģītos matemātiskos modeļos bieži kā bāzi izmanto skaitli $e$.

Ar eksponenciāli augošu funkciju apraksta daudzus procesus no reālās dzīves. Piemēram,

baktēriju vairošanos,
ķīmiskās reakcijas produkta koncentrāciju,
iedzīvotāju skaita pieaugumu pasaulē,
koksnes masas izmaiņas mežā,
naudas pieaugumu bankā (ja tā noguldīta atbilstoši saliktajiem procentiem).

Piemērs:

Novērtēts, ka uzņēmējam piederošajā meža gabalā 1000 m³ koksnes. Katru gadu koksnes daudzums pieaug par

\frac{1}{50}

daļu no iepriekšējā gada koksnes daudzuma. Aprēķini, aptuveni pēc cik gadiem koksnes daudzums būs vismaz divas reizes lielāks nekā pašlaik! Aprēķinos lieto zinātnisko kalkulatoru! Aprēķinus veic ar precizitāti līdz simtdaļām!

Risinājums

Uzdevuma risinājumu veido divi soļi:

1) noteikt atbilstošu eksponentfunkciju;

2) ar logaritma palīdzību noteikt kāpinātāja vērtību.

1) Iegūsim sakarību, ar kuru var aprēķināt koksnes daudzumu uzņēmēja mežā pēc $t$ gadiem.

Koksnes daudzums pēc pirmā gada:

\begin{array}{l} K_{1} = 1000 + \frac{1}{50} \cdot 1000 = \\ = 1000 (1 + \frac{1}{50}) \end{array}

Koksnes daudzums pēc otrā gada:

\begin{array}{l} K_{2} = \underline{1000 (1 + \frac{1}{50})} + \frac{1}{50} \cdot \underline{1000 (1 + \frac{1}{50})} = \\ = \underline{1000 (1 + \frac{1}{50})} \cdot (1 + \frac{1}{50}) = \\ = 1000 {(1 + \frac{1}{50})}^{2} = 1000 \cdot {1,02}^{2} \end{array}

Varam secināt, ka sakarība, ar kuru var aprēķināt koksnes daudzumu uzņēmēja mežā pēc $t$ gadiem, ir

\begin{array}{l} K_{t} = 1000 {\cdot (1,02)}^{t} \\ jeb \\ K_{t} = K_{0} {\cdot (1,02)}^{t}, \end{array}

kur

K_{0}

- sākotnējais koksnes daudzums.

2) Aprēķināsim kāpinātāja $t$ vērtību (gados):

\begin{array}{l} 2 \cdot 1000 = 1000 {\cdot (1,02)}^{t} \\ 1000 {\cdot (1,02)}^{t} = 2 \cdot 1000 \\ {1,02}^{t} = 2 \end{array}

Ja a^{t} = b \Rightarrow t = \log_{a} b, a > 0, a \neq 1, b > 0

\begin{array}{l} {t = \log}_{1,02} 2 \\ t = \frac{\ln 2}{\ln 1,02} \approx \frac{0,69315}{0,0198} \approx 35,01 \end{array}

Pārejai uz naturāllogaritmu, izmanto logaritma bāzes maiņas formulu

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} = \frac{lnb}{lna}

. Ja vēlas, var pāriet uz decimāllogaritmu, no tā rezultāts nemainās.

Atbilde: Koksnes daudzums būs vismaz divas reizes lielāks, nekā pašlaik, aptuveni pēc 35,01 gadiem.

Piebilde: Ja vēlies uzzināt precīzi, cik gadiem ir jāpaiet, iegūto rezultātu vienmēr nepieciešams noapaļot ar uzviju. Tas attiecas uz eksponenciāli augošu procesu.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

https://www.siic.lu.lv/mat/mat_12/mat_12_1.pdf

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

4. Eksponenciālā augšana. Koksnes daudzums

Teorija