1. Inversā matrica

Darbība dalīšana matricām nav definēta, tāpēc tās vietā izmanto līdzvērtīgu darbību- reizināšanu ar apgriezto jeb inverso matricu.
 
Par matricas A inverso matricu sauc matricu A−1, kurai:
A⋅A−1=A−1⋅A=E
 
Svarīgi!
Inversā matrica eksistē tikai kvadrātiskām matricām, kuru determinants nav vienāds ar 0:
det(A)≠0
 
Inversās matricas aprēķināšana
Var izmantot 2 metodes:
 
1) aprēķina pēc formulas:
Svarīgi!
A−1=1detA(A∗)T, kur A∗ ir matricas A adjunktu matrica, bet (A∗)T - tās transponētā matrica.
Par determinanta elementam aij atbilstošo minoru sauc determinantu, kuru iegūst no dotā determinanta, izsvītrojot i-to rindu un j-to kolonnu.
 
Par elementa aij adjunktu jeb algebrisko papildinājumu sauc šim elementam atbilstošo minoru ar zīmi "+" (ja i + j ir pāra sk.) vai zīmi "-" (ja i + j ir nepāra sk.).
(Sīkāk par matricas adjunktu skat. tēmas "Determinanti" teoriju)
  
Par transponēto matricu sauc matricu, kuru iegūst no dotās matricas, rindas elementus mainot vietām ar atbilstošās kolonnas elementiem.
(Sīkāk par matricas transponēšanu skat. tēmas "Darbības ar matricām" teoriju)
  
Piemērs:
Atrast matricas A=3246 inverso matricu!
 
1. solis: aprēķināsim dotās matricas determinantu det(A) = det ⁡(3246) = 10
Tā kā determinants nav vienāds ar nulli, inversā matrica eksistē.
 
2. solis: noteiksim matricas A adjunktus:
 
A11=(−1)1+1⋅6=6A12=(−1)1+2⋅4=−4A21=(−1)2+1⋅2=−2A22=(−1)2+2⋅3=3
 
Iegūstam adjunktu matricu A∗=A11A12A21A22=6−4−23
 
3. solis: Transponējam adjunktu matricu A∗T=6−2−43
 
4. solis: Aprēķinam inverso matricu pēc formulas A−1=1detA(A∗)T = 1106−2−43=0,6−0,2−0,40,3
 
Pārbaudīsim rezultātu pēc inversās matricas definīcijas:
 
A⋅A−1=3246⋅0,6−0,2−0,40,3=1,8−0,8−0,6+0,62,4−2,4−0,8+1,8=1001=EA−1⋅A=0,6−0,2−0,40,3⋅3246=1,8−0,81,2−1,2−1,2+1,2−0,8+1,8=1001=E
 
 
2) elementāro pārveidojumu metode
 
Rīkojas šādi:
1. pa labi no matricas pieraksta tāda paša izmēra vienības matricu, tādējādi iegūstot taisnstūrveida matricu AE);
2. ar matricu rindu elementārajiem pārveidojumiem matricas A vietā iegūst vienības matricu. Tādējādi ir iegūta matrica EA−1), t.i., aiz vertikālās svītras ir inversā matrica.
 
Piemērs:
Atrast matricas A=3246 inverso matricu!
 
32461001∼2.rinda+1.rinda⋅−43∼32010310−431∼1.rinda⋅132.rinda⋅310∼∼12301130−0,40,3∼1.rinda+2.rinda⋅−23∼10010,6−0,2−0,40,3
 
Tātad inversā matrica A−1=0,6−0,2−0,40,3
Iepriekšējā tēma
Atgriezties tēmā
Nākamais uzdevums
Copyright © 2024 SIA Uzdevumi.lv Kontakti Lietošanas noteikumi Privātuma politika Sīkdatņu iestatījumi