Trigonometriskā forma — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma

Kompleksā skaitļa pierakstu ar izteiksmi

z = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

sauc par tā trigonometrisko formu. (Šeit

- π < ϕ \leq π

ϕ

sauc par kompleksā skaitļa argumentu un apzīmē ar

\arg z

Ja ir nepieciešams pāriet no kompleksā skaitļa algebriskās formas

z = a + bi

uz trigonometrisko, vispirms aprēķina tā moduli

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

. Pēc tam no sakarībām

\cos ϕ = \frac{a}{r}

\sin ϕ = \frac{b}{r}

aprēķina derīgo

ϕ

vērtību, kurai

- π < ϕ \leq π

Piemērs:

\begin{array}{l} z = 1 + i \\ r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \\ \{\begin{cases} \cos ϕ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin ϕ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ - π < ϕ \leq π \end{cases} \\ ϕ = \frac{π}{4} \\ z = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) \end{array}

Ir iespējams pierakstīt kompleksu skaitli arī izmantojot eksponenciālo funkciju. To dara, izmantojot Eilera formulu:

e^{i ϕ} = \cos ϕ + i \sin ϕ

Par kompleksā skaitļa eksponentformu sauc tā pierakstu formā

z = r e^{i ϕ}

Paņemsim komplekso skaitli no iepriekšējā piemēra:

z = 1 + i, r = \sqrt{2}, ϕ = \frac{π}{4} \Rightarrow z = \sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i}

Atradi kļūdu?

3. Trigonometriskā forma