Matrica — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Matricas jēdzienu matemātikā 1850. gadā ieviesa angļu matemātiķis Dž.Silvesters (1814 – 1897), taču matricu teoriju plaši lieto ne tikai matemātikā un fizikā, bet arī inženierzinātnēs un ekonomikā.

Par matricu sauc taisnstūrveida skaitļu tabulu ar \(m\) rindām un \(n\) kolonnām. :

A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2 n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array})

Skaitļus

a_{ij}

, piemēram,

a_{11}, a_{12}, a_{13} .. a_{mn}

, sauc par matricas elementiem. Ja matricas rindu skaits sakrīt ar kolonnu skaitu, to sauc par kvadrātisku matricu (\(m =n\)).

Saīsināti matricu apzīmē

A = (a_{ij})

Kvadrātiskas matricas rindu (kolonnu) skaitu sauc par matricas kārtu.

Darbības ar matricām

Matricu, kuras visi elementi, izņemot galveno diagonāli, ir vienādi ar nulli, sauc par diagonālmatricu. Diagonālmatricu, kuras visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1, sauc par vienības matricu:

E = |\begin{array}{l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}|

Matricu transponēšana.

Par transponēto matricu sauc matricu

A^{T}

, kuru iegūst no dotās matricas, rindas elementus mainot vietām ar atbilstošās kolonnas elementiem.

Matricu vienādība.

Divas matricas sauc par vienādām, ja tām vienādi izmēri un ir vienādi visi šo matricu atbilstošie elementi.

Matricu saskaitīšana un atņemšana.

Saskaitīt un atņemt drīkst tikai vienāda izmēra matricas. Saskaitot divas matricas, saskaita to atbilstošos elementus:

C = A + B, ja c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Divu matricu starpību iegūst, no pirmās matricas elementiem atņemot atbilstošos otrās matricas elementus.

C = A - B, ja c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}

Matricas reizināšana ar skaitli.

Matricas reizinājumu ar skaitli \(k\) iegūst, pareizinot to ar katru matricas elementu.

B = kA, ja b_{ij} = k a_{ij}

Matricu reizināšana.

Svarīgi!

Matricas \(A\) un \(B\) reizināt drīkst tikai tad, ja matricas \(A\) kolonnu skaits sakrīt ar matricas \(B\) rindu skaitu.

Matricu \(A\) un \(B\) reizinājums ir matrica \(C\), kuras elementus iegūst, saskaitot matricas \(A\) \(i\)-tās rindas un \(B\)\(j\)-tās rindas atbilstošo elementu reizinājumus:

C = A \cdot B \Leftrightarrow c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2 j} + a_{i3} \cdot b_{3 j} + .. + a_{in} \cdot b_{nj}

Vispārīgā gadījumā

A \cdot B \neq B \cdot A

. Ja

A \cdot B = B \cdot A

, tad matricas sauc par komutatīvām.

Matricu kāpināšana.

Kāpināt drīkst tikai kvadrātiskas matricas. Matricas \(n\)-to pakāpi iegūst, \(n\) reizes pareizinot matricu pašu ar sevi:

\begin{array}{l} A^{2} = A \cdot A, \\ A^{3} = A \cdot A^{2} = A^{2} \cdot A, \\ A^{4} = A \cdot A^{3} = A^{2} \cdot A^{2} = A^{3} \cdot A \end{array}

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

1. Matrica

Teorija