1. Daļveida nevienādības atrisināšana, to aizstājot ar nevienādību sistēmu

Par daļveida nevienādībām sauc tādas nevienādības, kurās mainīgais atrodas saucējā.

Daļveida nevienādības ir, piemēram,

\begin{array}{l} \frac{- 4}{x - 1} > 0 \\ \frac{x}{2 x - 5} \leq 0 \\ \frac{x + 3}{x {(x - 2)}^{2}} \leq 1 \end{array}

Viena no daļveida nevienādības atrisināšanas metodēm ir nevienādības aizstāšana ar nevienādību sistēmām.

Risinot daļveida nevienādību, neatkarīgi no metodes,
1) visus locekļus pārnes vienā pusē (lai labajā pusē būtu \(0\));
2) kreisās puses izteiksmi pārveido par daļu (izveido kopsaucēju).

Tādējādi nevienādību vienā no šīm formām:

\frac{f (x)}{g (x)} < 0

\frac{f (x)}{g (x)} > 0

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0

Lai daļveida nevienādību aizstātu ar nevienādību sistēmu, jāzina zīmju likumi:

\begin{array}{l} \frac{(+)}{(+)} = (+) \frac{(-)}{(-)} = (+) \\ \frac{(+)}{(-)} = (-) \frac{(-)}{(+)} = (-) \end{array}

Izmantosim šos likumus.

Daļas vērtība var būt pozitīva tad un tikai tad, ja skaitītāja un saucēja izteiksmēm ir vienādas zīmes.

\frac{f (x)}{g (x)} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) < 0 \end{cases}

Daļas vērtība var būt negatīva tad un tikai tad, ja skaitītāja un saucēja izteiksmēm ir dažādas zīmes.

\frac{f (x)}{g (x)} < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

Ja daļveida nevienādība ir nestingra, tad īpaši jāievēro definīcijas apgabals, t.i., daļas saucējs nedrīkst būt \(0\). Tāpēc vienādība ir spēkā tikai skaitītājā. Saucējā ir stingrā nevienādības zīme.

\begin{array}{l} \frac{f (x)}{g (x)} \geq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} \leq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \end{array}

Piemērs:

Atrisini nevienādību

\frac{x + 2}{x - 3} \geq 0

, uzrakstot to ar nevienādību sistēmām.
Risinājums

\begin{array}{l} D . a . x - 3 \neq 0 \\ \{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} x + 2 \leq 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \end{array}

Atrisina katru no nevienādību sistēmām. Tās var numurēt.

\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x > 3 \end{cases} (1) vai \{\begin{cases} x \leq - 2 \\ x < 3 \end{cases} (2)

\((1)\) sistēmas atrisinājumu kopa:

x \in (3; + \infty)

\((2)\) sistēmas atrisinājumu kopa:

x \in (- \infty; - 2]

Ievēro, ka starp nevienādību sistēmām ir lietots vārds "vai". Tas nozīmē, ka dotās daļveida nevienādības atrisinājums ir vismaz viens no intervāliem, to pieraksta kā atsevišķo sistēmu atrisinājumu kopu apvienojumu.

Atbilde:

x \in (- \infty; - 2] \cup (3; + \infty)

Vingrinies!

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

1. Daļveida nevienādības atrisināšana, to aizstājot ar nevienādību sistēmu

Teorija