Faktoriāls — teorija. Matemātika, 11. klase.

Pielietojot reizināšanas likumu, bieži vien nākas reizināt pēc kārtas sekojošus naturālus skaitļus, sākot ar $1$. Piemēram,

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7

Lai varētu īsāk pierakstīt šāda veida izteiksmes, matemātikā tiek lietots simbols "!".

Tātad

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7

$=7!$

Visu naturālo skaitļu no 1 līdz n reizinājumu sauc par skaitļa $n$ faktoriālu un apzīmē

n!

(lasa: "en" faktoriāls).

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n = n!

jeb

n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Pieņemts, ka $0! = 1$

1! = 1

2! = 2 \cdot 1 = 2

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Faktoriālu var salīdzināt ar dzijas kamoliņu - pati pirmā kārta ir skaitlis $1$, tad seko $2$, tad seko $3$, utt...

Lai izpildītu darbības ar skaitļu faktoriāliem svarīgi ir prast šo "kamoliņu attīt vaļā" līdz vajadzīgajai vietai.

Piemēram, cik ir

\frac{22!}{20!} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20!}{20!} = 22 \cdot 21 = 462

Var tikai iedomāties, kādu laiku prasītu abu faktoriālu aprēķināšana un dalīšana :).

Piemērs:

1. Aprēķini izteiksmes $5! + 4!$ vērtību.

5! + 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 + 24 = 144

vai arī

5! + 4! = 5 \cdot 4! + 4! = 6 \cdot 4! = 6 \cdot 24 = 144

2. Saīsini daļu

\frac{6! - 5!}{4!}

\frac{6! - 5!}{4!} = \frac{6 \cdot \underline{5 \cdot 4!} - \underline{5 \cdot 4!}}{4!} = \frac{\underline{5 \cdot 4!} (6 - 1)}{4!} = \frac{\underline{5 \cdot 4!} \cdot 5}{4!} = 25

3. Saskaiti daļas $\frac{80!}{79!} + \frac{59!}{58!}$

Vispirms daļas saīsina

\frac{80!}{79!} + \frac{59!}{58!} = \frac{80 \cdot 79!}{79!} + \frac{59 \cdot 58!}{58!} = 80 + 59 = 139

Katru augstāko faktoriālu var izteikt ar zemāko faktoriālu, t.i .,
$n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!$ utt.

Piemērs:

Saīsini daļu

\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) n

Vienkāršo izteiksmi.

\frac{n + 2}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n!} = \frac{{(n + 2)}^{(\cdot n}}{(n - 1)!} - \frac{(2 n + 3)}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} + 2 n - 2 n - 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} - 3}{n!}

Palielinoties $n$ vērtībai, $n!$ vērtība strauji palielinās. Faktoriāla simbolu ērti lietot, ja jāpieraksta lieli skaitļi.

Uzdevumi.lv iesaka Mācību video: "Faktoriāls - tas ir vienkārši :)"

Atradi kļūdu?

3. Faktoriāls