4. Stereometrijas pamatjēdzieni. Taišņu paralelitāte

"Uzskata, ka jebkura taisne ir paralēla pati sev.

Taišņu \(a\) un \(b\) paralelitāti apzīmē šādi: $a\parallel b$ vai $b\parallel a$. 

1. Tā kā taisnes \(a\) un \(b\) ir paralēlas, tad no definīcijas seko, ka caur tām var novilkt plakni $\mathrm{\alpha }$.

2. Lai pierādītu, ka šāda plakne ir tikai viena, uz taisnes \(a\) izvēlamies punktus \(B\) un \(C\), bet uz taisnes \(b\) - punktu \(A\).

3. Tā kā caur trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt vienu vienīgu plakni (2. aksioma), tad $\mathrm{\alpha }$ ir vienīgā plakne, kas satur paralēlās taisnes \(a\) un \(b\).

 

1. Caur doto taisni \(a\) un punktu \(M\), kas neatrodas uz tās, novilksim plakni $\mathrm{\alpha }$.

2. Šāda plakne ir tikai viena (jo "Caur taisni un punktu, kas tai nepieder var novilkt vienu vienīgu plakni").

3. Bet plaknē $\mathrm{\alpha }$ caur punktu \(M\) var novilkt tikai vienu taisni \(b\), kas ir paralēla taisnei \(a\).

Aplūkosim divas paralēlas taisnes \(a\) un \(b\) un pieņemsim, ka taisne \(a\) krusto plaki $\mathrm{\alpha }$ (1. attēls).

 

No 1. teorēmas ir zināms, ka caur paralēlām taisnēm \(a\) un \(b\) var novilkt vienu vienīgu plakni $\mathrm{\beta }$. Tā kā punkts \(M\) atrodas uz taisnes \(a\), tad \(M\) pieder arī plaknei $\mathrm{\beta }$.

 

Ja plaknēm $\mathrm{\alpha }$ un $\mathrm{\beta }$ ir kopīgs punkts \(M\), tad šīm plaknēm ir kopīga taisne \(c\), kas ir šo plakņu šķēlumu taisne (4. aksioma). Un tad taisnes \(a\), \(b\) un \(c\)atrodas plaknē $\mathrm{\beta }$.

 

Ja šajā plaknē viena no paralēlajām taisnēm \(a\) krusto taisni \(c\), tad arī otra taisne \(b\) krusto \(c\). Apzīmēsim taišņu \(b\) un \(c\)krustpunktu ar \(K\).

 

Tā kā punkts \(K\) atrodas uz taisnes \(c\), tad \(K\) atrodas plaknē $\mathrm{\alpha }$ un ir vienīgais taisnes \(b\) un plaknes $\mathrm{\alpha }$ kopīgais punkts. Tātad taisne \(b\) krusto plakni $\mathrm{\alpha }$ punktā \(K\).

Dots: $a\parallel c,b\parallel c$

Jāpierāda: $a\parallel b$

 

Pierādījums:

Izvēlēsimies punktu \(M\) uz taisnes \(b\).

Tātad caur punktu \(M\) un taisni a, kas nesatur šo punktu, var novilkt vienu vienīgu plakni $\mathrm{\alpha }$ ("Caur taisni un punktu, kas tai nepieder var novilkt vienu vienīgu plakni").

 

Būtībā ir iespējami tikai divi gadījumi:

1. taisne \(b\) krusto plakni $\mathrm{\alpha }$;

2. taisne \(b\) atrodas plaknē $\mathrm{\alpha }$.

  

 Tad taisne \(c\), kas ir paralēla taisnei \(b\), arī krusto plakni $\mathrm{\alpha }$. Tā kā $a\parallel c$, tad jāsecina, ka arī \(a\) krusto šo plakni. Bet taisne \(a\) nevar vienlaikus krustot plakni $\mathrm{\alpha }$ un atrasties plaknē $\mathrm{\alpha }$. Tas nozīmē, ka ir iegūta pretruna un pieņēmums, ka taisne \(b\) krusto plakni $\mathrm{\alpha }$, ir aplams.

Tātad patiess būs 2. gadījums - taisne \(b\) atrodas plaknē $\mathrm{\alpha }$.

 

Tagad pierādīsim, ka taisnes \(a\) un \(b\) ir paralēlas.

Pieņemsim pretējo: taisnēm \(a\) un \(b\) ir kopīgs punkts \(L\).

 

Tas nozīmē, ka caur punktu \(L\) ir novilktas divas taisnes \(a\) un \(b\), kas paralēlas taisnei \(c\). Saskaņā ar 2. teorēmu - tas nav iespējams. Tāpēc pieņēmums ir aplams, un taisnes \(a\) un \(b\) ir bez kopīgiem punktiem.

Tā kā taisnes \(a\) un \(b\) atrodas vienā plaknē $\mathrm{\alpha }$ un tām nav kopīgu punktu, tad tās ir paralēlas.

1. Paralēlu taišņu kūļa jebkuras divas taisnes ir savstarpēji paralēlas.

2. Taišņu paralelitātei telpā piemīt transitivitātes īpašība: $\left(a\parallel b\mathit{un}b\parallel c\right)\Rightarrow a\parallel c.$