Kvadrātvienādojumi. Vjeta teorēma — teorija. Matemātika, 12. klase.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Ar Vjeta teorēmu var atrisināt kvadrātvienādojumu.

Parasti Vjeta teorēmu lieto reducētam kvadrātvienādojumam, t.i., ja koeficients

a = 1

x^{2} + px + q = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = q \\ x_{1} + x_{2} = - p \end{cases}

Sakņu reizinājums ir vienāds ar kvadrātvienādojuma brīvo locekli, bet sakņu summas pretējais skaitlis ir koeficients pie \(x\) pirmās pakāpes.

Piemērs:

Nosaki saknes!

\begin{array}{l} x^{2} - 14 x + 40 = 0 \\ \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 40 \\ x_{1} + x_{2} = 14 \end{cases} \\ x_{1} = 10 \\ x_{2} = 4 \end{array}

Tātad mūsu uzdevums bija uzminēt skaitļus, kuru reizinājums ir \(40\), bet summa \(14\). Tādi skaitļi ir \(10\) un \(4\).

Tātad vienādojuma saknes ir skaitļi \(10\) un \(4\).

Izmantojot Vjeta teorēmu, viegli sastādīt kvadrātvienādojumu, ja ir zināmas tā saknes.

Piemērs:

Kāda kvadrātvienādojuma saknes ir \(2\) un \(-3\)?

\begin{array}{l} x^{2} + px + q = 0 \\ - p = x_{1} + x_{2} = 2 + (- 3) = - 1 \Rightarrow p = 1 \\ q = x_{1} \cdot x_{2} = 2 \cdot (- 3) = - 6 \\ x^{2} + 1 x - 6 = 0 \\ jeb \\ x^{2} + x - 6 = 0 \end{array}

Ja, izmantojot Vjeta teorēmu, ir grūti uzminēt saknes, tās var rēķināt ar citām metodēm. Tad ar Vjeta teorēmu var pārbaudīt, vai kvadrātvienādojuma saknes ir izrēķinātas pareizi.

Piemērs:

\begin{array}{l} 2 x^{2} + 0,8 x - 0,1 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {0,8}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 0,1) = 1,44 \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 0,8 + 1,2}{2 \cdot 2} = 0,1 \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 0,8 - 1,2}{2 \cdot 2} = - 0,5 \end{array}

Pārbaude:

\begin{array}{l} 2 x^{2} + 0,8 x - 0,1 = 0 | : 2 \\ x^{2} + 0,4 x - 0,05 = 0 \\ \{\begin{cases} 0,1 \cdot (- 0,5) = - 0,05 \\ 0,1 - 0,5 = - 0,4 \end{cases} \end{array}

Ja pilna sakņu pārbaude šķiet sarežģīta, tad vismaz vajag pārbaudīt sakņu zīmju pareizību. Šajā piemērā redzams, ka saknēm ir jābūt ar atšķirīgām zīmēm, jo