Eksponentvienādojums ar substitūcijas metodi — teorija. Matemātika, 12. klase.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Par algebriskiem vienādojumiem var reducēt tādus eksponentvienādojumus, kuros vairākās vietās kā darbības loceklis ir pakāpe ar vienu un to pašu bāzi, kāpinātu nezināmā

x

pakāpē.

Tādā gadījumā lieto substitūciju, šo darbības locekli apzīmējot ar jaunu mainīgo.

Piemērs:

Atrisini eksponentvienādojumu

4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

Risinājums:

Rakstiski vai galvā pārveido pakāpi:

4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = 2^{x \cdot 2} = {(2^{x})}^{2}

Iegūst

{(2^{x})}^{2} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

Apzīmē

2^{x} = y

Iegūst kvadrātvienādojumu

y^{2} - 9 y + 8 = 0

, kura saknes ir

y_{1} = 8

vai

y_{2} = 1

Atgriežas pie substitūcijas:

\begin{array}{l} 2^{x} = 8 \\ 2^{x} = 2^{3} \\ x = 3 \end{array}

\begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x} = 2^{0} \\ x = 0 \end{array}

Atbilde:

x = 0

;

x = 3

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

\frac{3}{2^{x} + 1} + \frac{5}{2^{x} + 3} = 2

Risinājums:

2^{x} = y

\frac{3}{y + 1} + \frac{5}{y + 3} = 2

{\frac{3}{y + 1}}^{(y + 3} + {\frac{5}{y + 3}}^{(y + 1} - 2^{((y + 1) (y + 3)} = 0

\frac{3 y + 9 + 5 y + 5 - {2 y}^{2} - 8 y - 6}{(y + 1) (y + 3)} = 0

Daļa ir vienāda ar 0, ja tās skaitītājs ir 0, bet saucējs nav 0.

{- 2 y}^{2} + 8 = 0

y^{2} - 4 = 0

y^{2} = 4

y_{1} = - 2; y_{2} = 2

Def. apg.

(y + 1) (y + 3) \neq 0

y + 1 \neq 0; y + 3 \neq 0

y \neq - 1; y \neq - 3

Atgriežas pie substitūcijas

\begin{array}{l} 2^{x} = - 2 \\ x \in \emptyset, \end{array}

2^{x} > 0

\begin{array}{l} 2^{x} = 2 \\ 2^{x} = 2^{1} \\ x = 1 \end{array}

Atbilde:

x = 1

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

2^{1 + x} - 2^{1 - x} = 7, 5

Risinājums:

Lieto pakāpju īpašības:

2^{1} \cdot 2^{x} - 2^{1} \cdot 2^{- x} = 7, 5

2 \cdot 2^{x} - \frac{2}{2^{x}} = 7, 5

2^{x} = y > 0

2 y - \frac{2}{y} = 7,5

(Def. apg.

y \neq 0

)

{2 y}^{2} - 7,5 y - 2 = 0

y_{1} = 4; y_{2} = - 0,25

\begin{array}{l} 2^{x} = 4 \\ 2^{x} = 2^{2} \\ x = 2 \end{array}

\begin{array}{l} 2^{x} = - 0,25 \\ x \in \emptyset, \end{array}

2^{x} > 0

Atbilde:

x = 2

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Eksponentvienādojums ar substitūcijas metodi

Teorija