Vienādojums ar diviem mainīgajiem — teorija. Matemātika, 9. klase.

OTRĀ SEMESTRA NOSLĒGUMA TESTI

Par vienādojumu ar diviem mainīgajiem sauc vienādību, kurā ir divi nezināmie (mainīgie).

Par lineāru jeb pirmās pakāpes vienādojumu ar diviem mainīgajiem \(x\) un \(y\) sauc vienādojumu formā \(ax+by=c\), kur \(a\), \(b\) un \(c\) ir skaitļi.

Piemērs:

\begin{array}{l} 3 x + 7 y = 12 \\ 0,2 y - \frac{1}{3} x - 9 = 0 \end{array}

Ja vienādojums ar diviem mainīgajiem satur vismaz vienu otrās pakāpes monomu, tad šādu vienādojumu sauc par otrās pakāpes vienādojumu.

Piemērs:

Monomi ar otro pakāpi:

x^{2}; y^{2}; xy; 4 \cdot yx; - 23 x^{2}

Otrās pakāpes vienādojumi:

\begin{array}{l} 3 x^{2} - 4 y = 5 \\ 2 xy + y + x = 3 \end{array}

Par vienādojuma ar diviem mainīgajiem atrisinājumu sauc jebkuru sakārtotu skaitļu pāri \((x;y)\), ar kuru vienādojums kļūst par patiesu vienādību.

Ievēro, ja skaitļu pāris ir sakārtots, nedrīkst sajaukt vietām \(x\) ar \(y\) - mainīgā \(x\) vērtībai jābūt pirmajai, bet \(y\) otrajai.

Vienādojuma

4 x + y^{2} = 0

saknes ir skaitļu pāri ir, piemēram, \((-4;4)\), \((0;0)\), \((-1;2)\).

Atrisinājumus var pārbaudīt, mainīgo vērtības ievietojot vienādojumā.

\begin{array}{l} 4 \cdot (- 4) + 4^{2} = - 16 + 16 = 0 \\ 4 \cdot 0 + 0^{2} = 0 \\ 4 \cdot (- 1) + 2^{2} = - 4 + 4 = 0 \end{array}

Vienādojumam ar diviem mainīgajiem parasti ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.

Lai noteiktu kādu atrisinājumu:

vienam no nezināmajiem piešķir kādu brīvi izvēlētu vērtību;
atkarībā no pirmā nezināmā izvēlētās vērtības aprēķina otra nezināmā vērtību.

Aprēķinot otru nezināmā vērtību, drīkst veikt tikai ekvivalentus pārveidojumus:

vienādojuma abām pusēm pieskaitīt vai atņemt skaitli;
vienādojuma abas puses var reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle;
ekvivalents pārveidojums ir arī kāda saskaitāmā pārnešana uz vienādojuma otru pusi, tā zīmi mainot uz pretējo.

Ekvivalents pārveidojums nav, piemēram, saknes vilkšana no abām vienādojuma pusēm.

Piemērs:

Nosaki vienu vienādojuma