Vienādojums ar diviem mainīgajiem — teorija. Matemātika, 9. klase.

Par vienādojumu ar diviem mainīgajiem sauc vienādību, kurā ir divi nezināmie (mainīgie).

Par lineāru jeb pirmās pakāpes vienādojumu ar diviem mainīgajiem \(x\) un \(y\) sauc vienādojumu formā \(ax+by=c\), kur \(a\), \(b\) un \(c\) ir skaitļi.

Piemērs:

\begin{array}{l} 3 x + 7 y = 12 \\ 0,2 y - \frac{1}{3} x - 9 = 0 \end{array}

Ja vienādojums ar diviem mainīgajiem satur vismaz vienu otrās pakāpes monomu, tad šādu vienādojumu sauc par otrās pakāpes vienādojumu.

Piemērs:

Monomi ar otro pakāpi:

x^{2}; y^{2}; xy; 4 \cdot yx; - 23 x^{2}

Otrās pakāpes vienādojumi:

\begin{array}{l} 3 x^{2} - 4 y = 5 \\ 2 xy + y + x = 3 \end{array}

Par vienādojuma ar diviem mainīgajiem atrisinājumu sauc jebkuru sakārtotu skaitļu pāri \((x;y)\), ar kuru vienādojums kļūst par patiesu vienādību.

Ievēro, ja skaitļu pāris ir sakārtots, nedrīkst sajaukt vietām \(x\) ar \(y\) - mainīgā \(x\) vērtībai jābūt pirmajai, bet \(y\) otrajai.

Vienādojuma

4 x + y^{2} = 0

saknes ir skaitļu pāri ir, piemēram, \((-4;4)\), \((0;0)\), \((-1;2)\).

Atrisinājumus var pārbaudīt, mainīgo vērtības ievietojot vienādojumā.

\begin{array}{l} 4 \cdot (- 4) + 4^{2} = - 16 + 16 = 0 \\ 4 \cdot 0 + 0^{2} = 0 \\ 4 \cdot (- 1) + 2^{2} = - 4 + 4 = 0 \end{array}

Vienādojumam ar diviem mainīgajiem parasti ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.

Lai noteiktu kādu atrisinājumu:

vienam no nezināmajiem piešķir kādu brīvi izvēlētu vērtību;
atkarībā no pirmā nezināmā izvēlētās vērtības aprēķina otra nezināmā vērtību.

Aprēķinot otru nezināmā vērtību, drīkst veikt tikai ekvivalentus pārveidojumus:

vienādojuma abām pusēm pieskaitīt vai atņemt skaitli;
vienādojuma abas puses var reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle;
ekvivalents pārveidojums ir arī kāda saskaitāmā pārnešana uz vienādojuma otru pusi, tā zīmi mainot uz pretējo.

Ekvivalents pārveidojums nav, piemēram, saknes vilkšana no abām vienādojuma pusēm.

Piemērs:

Nosaki vienu vienādojuma