Invariants - ar šo vārdu apzīmē īpašību būt nemainīgam kādā procesā (franču valodā vārds invariant nozīmē nemainīgs).
Tā, piemēram, no rudzu grauda var izaugt tikai rudzu vārpa. Iesējot šīs vārpas graudus, savukārt var izaugt tikai rudzi. Lai cik reizes sētu graudus, kas iegūti, novācot rudzus, no tiem izaugs rudzi, bet ne mieži vai kvieši. Īpašība, ka no rudzu graudiem atkal izaug rudzi, šajā procesā ir nemainīga jeb invarianta.
Tā, piemēram, no rudzu grauda var izaugt tikai rudzu vārpa. Iesējot šīs vārpas graudus, savukārt var izaugt tikai rudzi. Lai cik reizes sētu graudus, kas iegūti, novācot rudzus, no tiem izaugs rudzi, bet ne mieži vai kvieši. Īpašība, ka no rudzu graudiem atkal izaug rudzi, šajā procesā ir nemainīga jeb invarianta.
Lai ilustrētu jēdziena invariants izmantošanu matemātikā, aplūkosim šādu uzdevumu.
Atrisinājums.
Samērā viegli atrast pārveidojumu virknes
Piemērs:
1. uzdevums.
Ar naturālu skaitli drīkst izdarīt šādus pārveidojumus:
a) pieskaitīt \(6\);
b) dalīt ar \(2\), ja skaitlis ir pāra skaitlis;
c) mainīt vietām skaitļa ciparus (skaitļa priekšā nedrīkst nonākt nulle).
Par kādu vismazāko skaitli var pārveidot skaitli \(76\)?
Ar naturālu skaitli drīkst izdarīt šādus pārveidojumus:
a) pieskaitīt \(6\);
b) dalīt ar \(2\), ja skaitlis ir pāra skaitlis;
c) mainīt vietām skaitļa ciparus (skaitļa priekšā nedrīkst nonākt nulle).
Par kādu vismazāko skaitli var pārveidot skaitli \(76\)?
Samērā viegli atrast pārveidojumu virknes
\(76→82→28→34→40→46→52→58→64→32→16→8→4→2→1\)
Skaidrs, ka \(76\) pārveidot par mazāku skaitli kā \(1\) neizdosies.
Bet vai skaitli \(15\) var pārveidot par skaitli \(2\) vai \(1\)?
Vairākkārt mēģinot to izdarīt, nekādus panākumus negūstam, bet tas nav pierādījums, ka šāds mērķis nav sasniedzams. Kā to pierādīt?
Paskaties savos mēģinājumos, kāda kopīga iezīme ir visiem skaitļiem, kas iegūti no skaitļa \(15\)? Visi skaitļi dalās ar \(3\). Vai tā ir nejaušība? Nē.
Paskaties savos mēģinājumos, kāda kopīga iezīme ir visiem skaitļiem, kas iegūti no skaitļa \(15\)? Visi skaitļi dalās ar \(3\). Vai tā ir nejaušība? Nē.
Sākumā dotais skaitlis \(15\) dalās ar \(3\). Nosauksim skaitli \(15\) ar burtu \(a\).
Ja \(a\) dalās ar \(3\), tad arī \(a+6\) dalās ar \(3\), ja \(a\) dalās ar \(3\) un ir pāra skaitlis, tad arī \(a:2\) dalās ar \(3\)
Ja \(a\) dalās ar \(3\), tad tā ciparu summa dalās ar \(3\), tāpēc ar \(3\) dalās arī katrs skaitlis, ko iegūst, pārkārtojot skaitļa \(a\) ciparus. Tātad varam iegūt tikai tādus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Bet ne \(1\), ne \(2\) ar \(3\) nedalās, tātad šos skaitļus iegūt nevar.
Ja \(a\) dalās ar \(3\), tad tā ciparu summa dalās ar \(3\), tāpēc ar \(3\) dalās arī katrs skaitlis, ko iegūst, pārkārtojot skaitļa \(a\) ciparus. Tātad varam iegūt tikai tādus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Bet ne \(1\), ne \(2\) ar \(3\) nedalās, tātad šos skaitļus iegūt nevar.
Invariantu metodi lieto, lai pierādītu, ka nevar iegūt vēlamo rezultātu.
"Jāatrod īpašība (t.s. invariants), kas piemīt sākumā dotajam skaitlim, figūrai... un saglabājas, veicot pieļaujamās operācijas, bet nepiemīt vēlamajam galarezultātam. Ja šādu īpašību izdodas atrast, tad skaidrs, ka galarezultātu ar pieļaujamām operācijām nevar iegūt."