Viens no veselo skaitļu iedalījumiem ir to dalījums pāra un nepāra skaitļos. Katrs vesels skaitlis ir vai nu pāra, vai nepāra, taču neviens nav vienlaikus gan pāra, gan nepāra skaitlis. Tā visi veselie skaitļi tiek sadalīti divās klasēs: skaitļi, kas dalās ar \(2\) (pāra skaitļi), un skaitļi, kas nedalās ar \(2\) (nepāra skaitļi).
Taču skaitļus var sadalīt klasēs arī pēc citām pazīmēm.
Ja dalītāju \(2\) aizvieto ar \(3\), tad līdzīgi var izdarīt spriedumus par skaitļiem, kas dalās vai nedalās ar \(3\).
Tomēr lietderīgāk ir veselos skaitļus sadalīt klasēs atkarībā no tā, kādu atlikumu tie dod, dalot ar \(3\).
Arī pāra un nepāra skaitļus var uztvert kā skaitļus, kas, dalot ar \(2\), dod attiecīgi atlikumu \(0\) vai \(1\). Ja nomainām \(2\) ar \(3\), tad veselos skaitļus mēs sadalām trīs klasēs – šķirojot gadījumus, vai skaitlis, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(0\), \(1\) vai \(2\).
Skaitļu sadalīšanu klasēs var salīdzināt ar "skaitļu krāsošanu". Pieņemsim, ka visi veselie skaitļi sarakstīti uz bezgalīgas rūtiņu lentes. Ja vēlamies veselos skaitļus sašķirot klasēs atkarībā no tā, piemēram, kādus atlikumus tie dod, dalot ar \(3\), tad grafiski var iztēloties, ka katram skaitlim atbilstošā rūtiņa tiek nokrāsota vienā no trim krāsām:
Pamēģini patstāvīgi sadalīt skaitļus klasēs pēc to dalīšanās ar \(5\).
Teorēma par dalīšanu ar atlikumu.
Ja \(𝑎\) ir vesels skaitlis un \(𝑏\) ir naturāls skaitlis, tad noteikti var atrast tādus veselus skaitļus \(𝑞\) un \(𝑟\), ka , turklāt \(0 ≤ 𝑟 < 𝑏\).
Ievēro! Atlikums nekad nav mazāks kā \(0\) un vienmēr ir mazāks nekā skaitlis, ar kuru dala, tas ir, dalot ar \(𝑏\), atlikumam
var būt vērtības \(0, 1, 2, \)… \(, 𝑏 − 1\).
var būt vērtības \(0, 1, 2, \)… \(, 𝑏 − 1\).
Skaitļu sadalīšanu klasēs var salīdzināt ar "skaitļu krāsošanu". Pieņemsim, ka visi veselie skaitļi sarakstīti uz bezgalīgas rūtiņu lentes. Ja vēlamies veselos skaitļus sašķirot klasēs atkarībā no tā, piemēram, kādus atlikumus tie dod, dalot ar \(3\), tad grafiski var iztēloties, ka katram skaitlim atbilstošā rūtiņa tiek nokrāsota vienā no trim krāsām:
tie skaitļi, kas dalās ar \(3\) ir zaļi,
tie skaitļi, kas, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(1\), ir rozā,
tie skaitļi, kas, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(2\) ir zili.
Tādējādi visi skaitļi tiek nokrāsoti kādā no trim krāsām, turklāt katrs skaitlis tiek nokrāsots tieši vienā krāsā:
Pamēģini patstāvīgi sadalīt skaitļus klasēs pēc to dalīšanās ar \(5\).
Lai šos spriedumus vispārinātu un lietotu uzdevumu risināšanā, definē kongruences jēdzienu, ar kuru vari iepazīties tālākās teorijās.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja