Kā pierāda dalāmību ar 11? — teorija. Matemātika, Gatavošanās matemātikas olimpiādēm.

Pierādīsim dalāmības pazīmi ar $11$

Apskatīsim piecciparu skaitļus.

Naturālu piecciparu skaitli $N$ var pierakstīt:

N = \bar{abcde} = a \cdot 10000 + b \cdot 1000 + c \cdot 100 + d \cdot 10 + e

Dala $10000$; $1000$; $100$ un $10$ ar moduli $11$,

$10\ 000=909·11+1$

$1000=90·11+10=91·11-1$ (izdevīgāks ir pēc moduļa mazāks atlikums)

$100=9·11+1$

$10=1·11-1$

Ja modulis $m= 11$, tad ir pareizas kongruences:

10 000 \equiv 1 (\mod 11)

1000 \equiv - 1 (\mod 11)

100 \equiv 1 (\mod 11)

10 \equiv 10 \equiv - 1 (\mod 11)

Tāpēc

\begin{array}{l} N_{1} = a \cdot 1 + b \cdot (- 1) + c \cdot 1 + d \cdot (- 1) + e \\ N_{1} = a - b + c - d + e \end{array}

Un tā kā

N \equiv N_{1} (\mod m)

, tad

N \equiv a - b + c - d + e (\mod 11)

Iegūst dalāmības pazīmi ar $11$: naturāls skaitlis dalās ar $11$ tad un tikai tad, ja tā ciparu algebriskā summa dalās ar $11,$ ņemot ar mīnusa zīmi tos ciparus, kas atrodas pāra vietās, skaitot no labās puses.

Piemērs:
Pārbaudīsim, vai skaitlis $123456$ dalās ar $11$.

$\begin{array}{l} 1 \underline{2} 3 \underline{4} 5 \underline{6} \\ (6 + 4 + 2) - (5 + 3 + 1) = 3 \end{array}$

Secinām, ka dotais skaitlis nedalās ar $11$. Pie tam, var secināt, ka, $123456$ dalot ar $11$, atlikums ir $3$.
$123456 \equiv 3 (\mod 11)$
Pamēģini patstāvīgi pierādīt dalāmības pazīmi ar $11$ septiņciparu skaitlim.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Kā pierāda dalāmību ar 11?

Teorija