Kvadrātfunkcija un tās grafika konstruēšana — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, 9. klase.

Funkciju, kuras vispārīgais veids ir

$y = a x^{2} + bx + c$ , kur

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ir reāli skaitļi un

$a \neq 0$ , sauc par kvadrātfunkciju.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Definīcijas apgabals

$D(f)$ ir visi reālie skaitļi (kādas vērtības var ievietot

$x$ vietā).
Vērtību apgabalu

$E(f)$ nolasa no grafika. Tas ir atkarīgs no parabolas virsotnes

$y$ koordinātas un no zaru vērsuma (kādas vērtības var pieņemt

$y$ ).

Svarīgi!

Koeficients (parametrs)

$a$ nosaka zaru vērsumu:

ja $a>0$ , tad zari ir vērsti uz augšu;
ja $a<0$ , tad zari ir vērsti uz leju.

Koeficients

$c$ norāda, kurā punktā parabola krusto

$Oy$ asi.

Lai konstruētu kvadrātfunkcijas grafiku:

1. Aprēķina parabolas virsotnes koordinātas:

$x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ un

$y_{0}$ , kuru iegūst,

$x_{0}$ ievietojot funkcijā.

2. Atliek virsotni koordinātu plaknē, novelk parabolas simetrijas asi.

3. Nosaka parabolas zaru vērsumu: ja

$a>0$ , tad zari ir vērsti uz augšu, ja

$a<0$ , tad zari ir vērsti uz leju.

4. Atliek krustpunktu ar

$y$ asi (kur

$x$ ir

$0$ un

$y$ koordināta ir

$c$ ).

5. Sastāda vērtību tabulu, izvēloties nepieciešamās argumenta

$x$ vērtības.

Atrisinot kvadrātvienādojumu

$a x^{2} + bx + c = 0$ , var iegūt krustpunktus ar

$Ox$ asi jeb funkcijas saknes, funkcijas nulles (ja tādas ir).

Ja diskriminants $D>0$ , tad ir divas saknes jeb divi krustpunkti ar $x$ asi,
ja $D<0$ , tad krustpunktu ar $x$ asi nav,
ja $D=0$ , tad parabolas virsotne atrodas uz $x$ ass (parabola pieskaras $x$ asij).

Taču ne vienmēr šie krustpunkti ar

$Ox$ asi ir racionāli skaitļi. Ja no diskriminanta

$D$ nevar izvilkt precīzu racionālu sakni, tad grafika konstruēšanai saknes nevarēs izmantot.

Piemērs:

1. Konstruē grafiku

$y = x^{2} - 2 x - 1$ !

Virsotnes koordinātas ir:

$\begin{array}{l} x_{0} = \frac{- b}{2 a} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1 \\ y_{0} = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 = - 2 \end{array}$

Zaru vērsums uz augšu, jo

$a=1, a>0$ .

Grafiks

$Oy$ asi krusto punktā

$(0; - 1)$ .

$x$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-1$	$2$	$7$

Simetriski piezīmē parabolas kreiso pusi.

$E (f) = [- 2; + \infty)$

Piemērs:

2. Nosaki kvadrātfunkcijas

$y = - 2 x^{2} + 4 x$ virsotnes koordinātas!

Redzam, ka šai funkcijai ir viegli aprēķināt saknes. Izmantosim to.

$\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 4 x = 0 \\ x (- 2 x + 4) = 0 \\ 1) x = 0 \\ 2) - 2 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \\ x_{1} = 0; x_{2} = 2 \end{array}$

Virsotnes koordinātas ir:

$\begin{array}{l} x_{0} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 4}{2 \cdot (- 2)} = 1 \\ y_{0} = - 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 = 2 \end{array}$

Tabulā pietiek ar vienu vērtību:

$x=3$ , tad

$y = - 2 \cdot {(3)}^{2} + 4 \cdot 3 = - 18 + 12 = - 6$

Simetriski, ja

$x=-1$ , tad

$y$ =

$-6$

Zaru vērsums uz leju, jo

$a=-2, a<0$ .

Grafiks

$Oy$ asi krusto punktā

$(0; 0)$ .

$E (f) = (- \infty; 2]$

Atbilde: Virsotnes koordinātas ir

$x_{0} = 1, y_{0} = 2$ .

Parabolas un paraboliskas trajektorijas ir visapkārt mums:

YCUZD_240322_parabolas_8th.creator Shutterstock.png

Atsauce:

8th.creator / Shutterstock.com

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

8. Kvadrātfunkcija un tās grafika konstruēšana

Teorija

Pamanīts reklāmas bloķētājs!