Eksāmena parauguzdevums
Nosaki un pamato šķautņu skaitu prizmai, kurai ir n skaldnes. Ja nepieciešams, izmanto doto informāciju (sk. 9. attēlu)
Risinājums
Aplūkosim attēlā doto trijstūra prizmu.
Trijstūra prizmai ir
3 sānu skaldnes 2 pamata skaldnes. Kopā 3+2=5 skaldnes (n=5).
3 sānu šķautnes un 2·3 pamata šķautnes. Kopā 3+2·3=9 šķautnes.
Uzzīmējam četrstūra prizmu.
Četrstūra prizmai ir
4 sānu skaldnes, 2 pamata skaldnes. Kopā 4+2=6 skaldnes (n=6)
4 sānu šķautnes un 2·4 pamata šķautnes. Kopā 4+2·4=12 šķautnes.
Piecstūra prizmai (attēlā) ir
5 sānu skaldnes, 2 pamata skaldnes. Kopā 5+2=7 skaldnes (n=7)
5 sānu šķautnes un 2·5 pamata šķautnes. Kopā 5+2·5=15 šķautnes.
Secinām, ka k- stūra prizmai ir
k sānu skaldnes, 2 pamata skaldnes. Kopā k+2= skaldnes (n=k+2)
k sānu šķautnes un 2·k pamata šķautnes. Kopā k+2·k=3k šķautnes.
Uzmanīgi izlasi jautājumu! Nosaki un pamato šķautņu skaitu prizmai, kurai ir n skaldnes.
Gribētos rakstīt atbildi: Ja skaldņu skaits ir k+2, tad ir 3k šķautnes.
Taču atbildē nevar izmantot k (kas ir prizmas nosaukumā), vajag n - atbilstošās prizmas skaldņu skaitu.
Ja skaldņu skaits ir n=k+2, var izteikt k=n-2
Šķautņu skaits ir 3(n-2).
Atbilde: Prizmai, kurai ir n skaldnes ir 3(n-2) šķautnes.
Vērtēšanas kritēriji
| Nosaka šķautņu skaitu konkrētos gadījumos un strukturēti apkopo iegūtos rezultātus. | Nosaka šķautņu skaitu konkrētos gadījumos, strukturēti apkopo iegūtos rezultātus un apraksta vai citādi parāda atsevišķas vispārīgas vai skaitliskas sakarības/“musturus”, bet skaldņu skaita izteiksmi neiegūst. | Iegūst, ka šķautņu skaits ir 3(n − 2), izmantojot konkrētas skaldņu skaita un šķautņu skaita vērtības, nepamato sakarību vispārīgi. | Formulē, vispārina un pamato sakarību starp prizmas skaldņu skaitu un šķautņu skaitu. Iegūst un pamato, ka šķautņu skaits ir 3(n − 2), risinājuma gaitā spriežot vispārīgi |
1 punkts | 2 punkti | 3 punkti | 4 punkti |
Risinājumu piemēri un to vērtējums
Nr. | Risinājums | Punkti | |||||||||||||||
| 1. | Šķautņu visām prizmām ir vairāk nekā skaldņu | 0 | |||||||||||||||
| 2. | Trijstūra prizma 5 skaldnes 9 šķautnes
Četrstūra prizma 6 skaldnes 12 šķautnes
Piecstūra prizma 7 skaldnes 15 šķautnes | 1 | |||||||||||||||
| 3. |
Ja prizmas skaldņu skaits palielinās par 1, tad šķautņu skaits palielinās par 3. Šķautņu
skaits vienmēr dalīsies ar 3. | 2 | |||||||||||||||
| 4. |
Secinu: ja ir n skaldes, tad ir 3(n − 2) šķautnes. Piemēram, pārbaudu, vai formula ir spēkā,
ja n = 8 un 3(8 − 2) = 18. Komentārs. Skolēna sniegums 4. piemērā ilustrē induktīvu spriedumu bez pamatojuma jeb “nepilno indukciju”, kas ir labs
sniegums, bet vērtējams zemāk nekā skolēnu sniegums 5.–7. piemērā, kura pazīme ir vispārīgu un patiesu apgalvojumu
veidošana. | 3 | |||||||||||||||
| 5. | Prizmai ir trīs reizes vairāk šķautņu nekā pamata virsotņu, jo katra pamata šķautņu skaits un arī sānu šķautņu skaits ir vienāds ar pamata virsotņu skaitu. Prizmai ir tik sānu skaldņu, cik pamatam virsotņu, un vēl divi pamati; tāpēc prizmas skaldņu skaits ir par 2 lielāks nekā pamata malu skaits. Tātad, ja skaldņu skaits ir n, tad pamata virsotņu skaits ir n – 2. Tāpēc prizmas šķautņu kopskaits ir 3(n – 2). | 4 | |||||||||||||||
| 6. | Pieņemsim, ka dota k-stūra prizma. Tai ir k sānu skaldnes un 2 pamati. Tātad n = k + 2. Šai prizmai ir k sānu šķautnes un pa k šķautnēm katrā pamatā. Tātad kopā tai ir 3k šķautnes. Izsakot k = n − 2, iegūstam, ka šķautņu kopskaits ir 3(n − 2), kur n ir prizmas skaldņu skaits. | 4 | |||||||||||||||
| 7. | Aplūkosim dažādas prizmas.
Trijstūra prizma: 3 sānu skaldnes un 2 pamati, kopā n = 5.
Tai ir 3 sānu šķautnes un 2 ∙ 3 = 6 pamatu malas, kopā 9 šķautnes.
Piecstūra prizma: 5 sānu skaldnes un 2 pamati, kopā n = 7.
Tai ir 5 sānu šķautnes un 2 ∙ 5 = 10 pamatu malas, kopā 15 šķautnes.
Līdzīgi k-stūra prizmai: k sānu skaldnes un 2 pamati, kopā n = k + 2.
Tai ir k sānu šķautnes un 2 ∙ k pamatu malas, kopā 3k šķautnes.
Bet n = k – 2, tātad šķautņu kopskaits ir 3k = 3(n − 2). | 4 |
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa
Matemātika optimālajā mācību satura apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba paraugs