Dota virkne un , kur . Uzraksti šīs virknes vispārīgā locekļa formulu un pierādi to, lietojot matemātiskās indukcijas principu.
Risini kopā ar uzdevumi.lv!
Uzraksti virknes locekli .
Izvēlies, kura varētu būt dotās virknes n-tā locekļa formula!
Pierādījums
Indukcijas bāze.
Ja \(n=1\), iegūst . Tātad, ja \(n=1\), izvēlētā formula ir pareiza.
Induktīvais pieņēmums.
Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad .
Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i., .
Pēc dotā , tāpēc
Izmantojot induktīvo pieņēmumu , iegūst, ka
kas bija jāpierāda.
Secinājums
Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām izvēlētā formula ir pareiza.
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1)\) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1)\) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!