Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Dota virkne x1=1 un xn+1=xn+2n+1, kur n. Uzraksti šīs virknes vispārīgā locekļa formulu un pierādi to, lietojot matemātiskās indukcijas principu.
 
Risini kopā ar uzdevumi.lv!
 
Uzraksti virknes locekli x2=i.
Izvēlies, kura varētu būt dotās virknes n-tā locekļa formula!
 
Pierādījums
Indukcijas bāze.
Ja \(n=1\), iegūst x1=i. Tātad, ja \(n=1\), izvēlētā formula ir pareiza.
 
Induktīvais pieņēmums.
Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad xk=i2.  
Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i., xk+1=i2.
 
Pēc dotā xn+1=xn+2n+1, tāpēc
xk+1=xk+2k+1
 
Izmantojot induktīvo pieņēmumu xk=i2, iegūst, ka
xk+1=k2+2k+1xk+1=k+12
kas bija jāpierāda.    
 
Secinājums
Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām izvēlētā formula xn=i2 ir pareiza.
 
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
  
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1)\) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1)\) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
 
Atsauce:
 https://www.visc.gov.lv. Centralizētais eksāmens matemātikā (augstākais mācību satura apguves līmenis), 2024
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!