Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Eksāmena parauguzdevums. NEBŪS 2023. GADA EKSĀMENĀ!
Standarta prasme Nr. M.A.4.1.1. Valsts pārbaudes darba programmas indikators 3.11. Spriež, formulē pieņēmumu par rekurenti uzdotas virknes vispārīgā locekļa formulu un to pierāda.
Piemērs:
Dota virkne x1=1,xn+1=2xn+1,n.
1) (2 punkti) Izsaki dotās virknes vispārīgo locekli formā xn=an+b, kur \(a(a>0) \) un \(b\) ir reāli skaitļi.
2) (3 punkti) Pierādi dotās virknes vispārīgā locekļa formulu, lietojot matemātisko indukciju.
Risinājums
Virknes pirmie locekļi ir:
x1=1, pēc dotā.
x2=21+1=3x3=23+1=7x4=27+1=15
 
Jāatrod likumsakarību, lai xn=an+b. Ievērojam, ka \(a>0,\) bet par parametru \(b\) tas nav teikts, tātad \(b\) var būt arī negatīvs skaitlis.
 
Var ievērot, ka
1=21=2113=41=2217=81=23115=161=241
 
Izvirzām hipotēzi par virknes vispārīgā locekļa formulu: xn=2n1.
Tātad \(a=2, b=-1.\)
 
Pierādām hipotēzi ar matemātisko indukciju.
1) Indukcijas bāze: x1=211=1 - izpildās (pēc dotā).
 
2) Induktīvais pieņēmums: pieņemu, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\), tas ir xk=2k1.
 
3) Induktīvā pāreja: jāpierāda, ka tādā gadījumā formula ir pareiza arī nākamajam \(n=k+1\), t.i., ka xk+1=2k+11.
 
Izmantosim doto rekurences formulu: xk+1=2xk+1 un pielietosim induktīvo pieņēmumu par xk.
xk+1=2xk+1==22k1+1==22k2+1==2k+12+1==2k+11
 
Induktīvā pāreja ir pierādīta:  xk+1=2k+11.
 
4) Secinājums. Tātad virknes vispārīgā locekļa formula xn=2n1 ir patiesa visām n vērtībām.
 
 
Snieguma līmeņa apraksts 28.2. uzdevumam
 
Veido pierādījumu, izmantojot MIPKorekti veic kādu no MIP soļiem, piemēram, pamato indukcijas bāzi vai demonstrē izpratni par MIP soļu saistību, bet pamatojums satur nozīmīgas loģikas vai algebras kļūdas.Kopumā pierāda prasīto ar MIP, saista pierādījuma soļus, bet ir atsevišķas nepilnības, piemēram, induktīvās pārejas pamatojumā kļūda algebriskajos pārveidojumos, loģikā vai jēdzienu lietojumā, neuzraksta secinājumu.Pilnīgi un precīzi pierāda prasīto, lietojot MIP, veido pamatotus un secīgi saistītus apgalvojumus, uzraksta secinājumu.
 
1 punkts
 2 punkti
3 punkti
 
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
  
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1)\) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1)\) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
 
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Matemātikas valsts pārbaudes darbs augstākajā mācību satura apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba paraugs