Punktu novietojums uz vienas taisnes — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Parauguzdevums no Skola2030 programmas. (70.lpp.).

Uzdevums

Nosaki un pamato, vai punkti $M$$(1;4;7)$ un $K(-2$$;-1;-3)$ un $C(2;5;9)$ atrodas uz vienas taisnes.

Risinājums

Trīs punkti atrodas uz vienas taisnes, ja viens no attālumiem ir divu citu attālumu summa.

Ja trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes, tie veido trijstūri un ir spēkā trijstūra nevienādība.

Aprēķina attālumus starp $M$, $K$ un $C$.

To var darīt divējādi

nosaka vektoru koordinātas un aprēķina šo vektoru garumu;
pēc formulas uzreiz nosaka attālumu starp punktiem $|\vec{AB}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Izvēlamies otro paņēmienu.

Aprēķina attālumu starp $M(1;4;7)$ un $K(-2;-1;-3) $

\begin{array}{l} |\vec{MK}| = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(- 1 - 4)}^{2} + {(- 3 - 7)}^{2}} \\ |\vec{MK}| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 5)}^{2} + {(- 10)}^{2}} = \sqrt{134} \end{array}

Aprēķina attālumu starp punktiem $K(-2$$;-1;-3)$ un $C(2;5;9)$

\begin{array}{l} |\vec{KC}| = \sqrt{{(2 + 2)}^{2} + {(5 + 1)}^{2} + {(9 + 3)}^{2}} \\ |\vec{KC}| = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14 \end{array}

Aprēķina attālumu starp punktiem $M(1;4;7)$ un $C(2;5;9)$

\begin{array}{l} |\vec{MC}| = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(5 - 4)}^{2} + {(9 - 7)}^{2}} \\ |\vec{MC}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6} \end{array}

Redzam, ka

\sqrt{6} + \sqrt{134} \neq 14

Tātad punkti $M$, $K$ un $C$ neatrodas uz vienas taisnes.

Papildjautājums.

Vai šie trīs punkti ir trijstūra $MKC$ virsotnes?

Kā zināms, trijstūra divu malu summa pārsniedz trešās malas garumu.

Vai divu īsāko attālumu summa pārsniedz trešo attālumu?

\sqrt{6} + \sqrt{134} \overset{?}{>} 14

Abas puses kāpinām kvadrātā

\begin{array}{l} {(\sqrt{6} + \sqrt{134})}^{2} \overset{?}{>} 14^{2} \\ 6 + 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{134} + 134 \overset{?}{>} 196 \\ 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{134} \overset{?}{>} 56 | : 2 \\ \sqrt{6 \cdot 134} \overset{?}{>} 28 \end{array}

Abas puses vēlreiz kāpina kvadrātā:

\begin{array}{l} 6 \cdot 134 \overset{?}{>} 784 \\ 804 > 784 \end{array}

Tātad punkti $M$, $K$ un $C$ ir trijstūra $MKC$ virsotnes.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

5. Punktu novietojums uz vienas taisnes