Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

7. Pierādi, ka četrstūris ir taisnstūris

Eksāmena parauguzdevums
 
Telpā doti četri punkti: \(A(–1; 2; –2), B(3; –2; 1), C(5; 3; 5)\) un \(D(1; 7; 2)\). Zināms, ka tie atrodas vienā plaknē un nekādi  trīs no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Pierādi, ka \(ABCD\) ir taisnstūris.
 
I risinājuma veids
Taisnstūra pazīme. Četrstūris ir taisnstūris, ja tas ir paralelograms, kuram vismaz viens leņķis ir taisns.
Paralelograma pazīme. Četrstūris ir paralelograms, ja tam divas malas ir vienāda garuma un paralēlas.
 
Lai pierādītu, ka četrstūris \(ABCD\) ir paralelograms, jāatrod vienādu (vai pretēju) vektoru pāris. Ja vektori ir vienādi vai pretēji, to moduļi ir vienādi un virzieni sakrīt (tātad paralēli).
 
Atrodam divu izvēlētu vektoru koordinātas:
AB→=3−−1;−2−2;1−(−2)=4;−4;3DC→=5−1;3−7;5−2=4;−4;3
 
Tā kā vektoru koordinātas ir vienādas, AB→=DC→ un četrstūris \(ABCD\) ir paralelograms.
 
Pierādīsim, ka vismaz viens no virsotnes leņķiem ir \(90\)°. Pierādīsim, ka ∢A=90°.
Izmanto skalāro reizinājumu: ja vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli, tas nozīmē, ka vektori ir perpendikulāri.
 
Skalārais reizinājums koordinātās: x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2
 
AB→=4;−4;3AD→=1−(−1);7−2;2−(−2)=(2;5;4)
AB→⋅AD→=4⋅2+−4⋅5+3⋅4=0
 
Tātad AB→⊥AD→ un ∢A=90°.
 
Tā kā četrstūris \(ABCD\) ir paralelograms, kuram viens leņķis ir taisns, tad tas ir taisnstūris.
 
II risinājuma veids, izmantojot tikai skalāro reizinājumu.
Ja četrstūra trīs leņķi ir taisni, tad tas ir taisnstūris.
Pierādīsim, ka ∢A=90°, ∢B=90°,∢C=90°.
 
AB→=4;−4;3AD→=(2;5;4)AB→⋅AD→=4⋅2+−4⋅5+3⋅4=0
Tātad ∢A=90°.
 
BA→=−4;4;−3BC→=5−3;3−−2;5−1=(2;5;4)AB→⋅AD→=−4⋅2+4⋅5+−3⋅4=0
Tātad ∢B=90°.
 
CB→=−2;−5;−4CD→=1−5;7−3;2−5=(−4;4;−3)CB→⋅CD→=−2⋅−4+−5⋅4+−4⋅−3=0
Tātad ∢C=90°
 
Tā kā četrstūra \(ABCD\) leņķi  ∢A=90°, ∢B=90°,∢C=90°, tad tas ir taisnstūris.
 
Ir iespējami arī citi risinājuma veidi.
 
Eksāmenā šādu uzdevumu vērtē pa līmeņiem ar 4 punktiem.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Matemātikas valsts pārbaudes darbs augstākajā mācību satura  apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba paraugs
Iepriekšējā teorija
Atgriezties tēmā
Nākamais tests
Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
PALĪGSMĀCĪBĀS.LV
Copyright © 2024 SIA Uzdevumi.lv Kontakti Lietošanas noteikumi Privātuma politika Sīkdatņu iestatījumi