Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Prasme: Lieto zināšanas analītiskajā ģeometrijā praktiskos kontekstos, piemēram, objektu navigācija uz ūdens vai gaisā.
  
Uzdevums
Garuma vienība ir \(1\) km. Vektors \((1; 0)\) norāda pārvietojumu uz austrumiem, bet vektors \((0; 1)\) norāda pārvietojumu uz ziemeļiem.
YCUZD_220902_4380_funkcija_ar_vektori.svg
 
Zīmējumā parādīts naftas tankkuģa Aristides ceļš attiecībā pret Orto ostu, kas atrodas punktā \((0; 0).\)  Pārvietošanās laikā tankkuģa Aristides koordinātas nosaka sākuma stāvokļa koordinātas \((0; 28)\) un pārvietojuma vektors a=6;8 stundas laikā. Laiks ir stundu skaits pēc pulksten \(12.00. \)
a) Nosaki tankkuģa Aristides atrašanās vietas koordinātas pulksten \(13.00. \)
b) Uzraksti tankkuģa Aristides ceļa vienādojumu formā Ax+By=C.
 
Zināms, ka kravas kuģis Boadicea ir nekustīgs punktā ar koordinātēm \((18; 4). \)
Ar aprēķiniem parādi, ka abi kuģi sadursies, ja netiks mainīti nosacījumi, un nosaki sadursmes laiku. Lai izvairītos no sadursmes, kravas kuģis Boadicea pulksten \(13.00\) sāk pārvietoties par vektoru b=15;12 stundas laikā.
c) Nosaki attālumu starp abiem kuģiem pulksten \(15.00\)
 
 
Risinājums
a)  Aprēķina tankkuģa Aristides atrašanās vietas koordinātas pulksten \(13.00\).
 
Ja sākuma stāvokļa koordinātas ir \((0; 28)\) un pārvietojuma vektors stundas laikā ir a=6;8, tad pēc stundas koordinātas būs:
0+6;28+8, kas ir 6;20.
 
b) Uzraksta tankkuģa Aristides ceļa vienādojumu.
 
Pārvietojuma vektors šajā gadījumā ir taisnes virziena vektors.
Ja taisne iet caur punktu x1;y1 un tās virziena vektors  a=ax;by, tad vienādojums kanoniskā formā ir xx1ax=yy1ay.
Kuģa trajektorija ir taisne, jo virziena vektors a=6;8 ir nemainīgs. Šai taisnei pieder punkts \((0;28). \)
Tātad
x06=y2888x=6y1688x6y=168|:14x+3y=84
 
Vienādojumu taisnei var atrast arī citā veidā, izmantojot vienādojumu taisnei, kas vilkta caur diviem punktiem:
xx1x2x1=yy1y2y1
Izmanto abas koordinātas: \((0;28)\) un \((6;20). \)
x060=y282028x06=y288...
Iegūtie vienādojumi neatšķiras.
Tankkuģa Aristides ceļa vienādojumu formā Ax+By=C ir 4x+3y=84.
 
 
Zināms, ka kravas kuģis Boadicea ir nekustīgs punktā ar koordinātēm \((18; 4). \)
Lai pierādītu, ka abi kuģi sadursies, jāparāda, ka kuģis Boadicea atrodas uz Aristides trajektorijas.
Tātad jāpierāda, ka punkts ar koordinātām \((18;4)\) pieder taisnei 4x+3y=84.
418+34=?8484=84
 
Lai noteiktu laiku, pietiek sastādīt vienādojumu vienai no koordinātēm, ja \(t\) - laiks stundās:
0+t6=18t=3
vai
28+t(8)=48t=24t=3
 
Atbilde: sadursme notiktu pēc \(3\) stundām.
 
c) Nosaka attālumu starp abiem kuģiem pulksten \(15.00.\)
 
1) Tankkuģis Aristide sāk pārvietoties \(12.00\), tātad līdz \(15.00\) pagājušas \(3\) stundas.
Aprēķinām, kādas ir koordinātas pēc \(3\) stundām:
0+36;28+38, tas ir \(A(18; 4)\)
Kaut mēs jau zinājām, ka tieši šajā punktā pēc \(3\) stundām atradīsies šis kuģis.
 
2) Kuģis Boadicea ar koordinātām \((18; 4)\) sāk pārvietoties pulksten \(13.00\) par vektoru b=15;12 stundas laikā.
Tātad līdz \(15.00\) pārvietojas \(2\) stundas.
Aprēķina koordinātas:
18+215;4+212, tas ir \(B(48; 28).\)
 
Atrod attālumu starp punktiem \(A(18; 4)\) un \(B(48; 28).\)
Uzrakstām vektoru:
AB=4818;284AB=30;24
 
Aprēķina vektora garumu:
AB=302+242AB=1476AB38km,
ja rezultātu noapaļotu līdz veseliem skaitļiem.
 
Atbilde: attālums starp abiem kuģiem pulksten \(15.00\) būs 1476km.
Atbildi nenoapaļojam, jo uzdevumā tas nav norādīts un nav dota vēlamā precizitāte. Navigācijā noapaļošanas kļūdas var radīt traģiskas sekas :).
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
SKOLA2030 materiāli