Vektori piramīdā. Pierādījuma uzdevums — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Prasme: Pierāda vispārīgu apgalvojumu patiesumu. 9.13. Lieto vektorus, lai pierādītu sakarības starp vektoriem plaknē un telpā, plaknes figūru veidu vai savstarpējo novietojumu, plaknes figūru vai telpisku ķermeņu īpašības.

Uzdevums

Dota regulāra četrstūra piramīda ABCDS, pamata diagonāļu krustpunkts ir \(O\). Pierādi, ka

\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4 \vec{SO}

Pierādījums

Visus locekļus pārnes kreisajā pusē, jo parasti vieglāk pierādīt kaut kā vienādību ar nulli.

Ievēro, ka var izveidot četras starpības:

\begin{array}{l} \vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} - 4 \vec{SO} = \vec{0} \\ \vec{SA} - \vec{SO} + \vec{SB} - \vec{SO} + \vec{SC} - \vec{SO} + \vec{SD} - \vec{SO} = \vec{0} \end{array}

Katru no četrām starpībām var pārveidot par summu. Zinot, ka atņemt vektoru, nozīmē pieskaitīt pretējo vektoru:

(\vec{SA} + \vec{OS}) + (\vec{SB} + \vec{OS}) + (\vec{SC} + \vec{OS}) + (\vec{SD} + \vec{OS}) = \vec{0}

Savukārt redzam, ka

\vec{SA} + \vec{OS} = \vec{O \underline{\underline{S}}} + \vec{\underline{\underline{S}} A} = \vec{OA}

Skat. zīm.

Tātad arī

\vec{SB} + \vec{OS} = \vec{O \underline{\underline{S}}} + \vec{\underline{\underline{S}} B} = \vec{OB}

\vec{SC} + \vec{OS} = \vec{O \underline{\underline{S}}} + \vec{\underline{\underline{S}} C} = \vec{OC}

\vec{SD} + \vec{OS} = \vec{O \underline{\underline{S}}} + \vec{\underline{\underline{S}} D} = \vec{OD}

Kvadrāta diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Zinām, ka pretēju vektoru summa ir vienāda ar \(0\).

Tātad

\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}

Tas arī bija jāpierāda.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Skola2030 kursi

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Vektori piramīdā. Pierādījuma uzdevums

Teorija