Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Pierādījuma uzdevums
Vērtēšanas indikators matemātikas VPD augstākajā līmenī: 10.13. Pierāda plaknes figūras īpašību, atsaucoties uz jau pierādīto, lietojot trijstūru līdzību, laukuma īpašības, ģeometriskos pārveidojumus.
Piemērs:
Dots taisnleņķa trijstūris ABC (ar taisno leņķi C). Pret hipotenūzu AB no tās iekšējā punkta N novilkts perpendikuls, kas kateti BC krusto punktā M (sk. att.).
YCUZD_221101_4610_Četrstūri_14.svg
 
Pierādi, ka
a) BMN=CAB,
b) BCNM=BNAC,
c) ap četrstūri ANMC var apvilkt riņķa līniju un MAN=MCN.
 
Viens no iespējamiem risinājumiem
  
a) Ja leņķi \(B\) apzīmē ar α, tad leņķis \(BMN =\)90°α (trijstūrī \(NBM\)).
Arī \(CAB =\)90°α (trijstūrī \(CAB\)).
Tātad leņķi \(BMN\) un \(CAB\) ir vienādi.
 
YCUZD_221101_4610_Četrstūri_2.svg
 
b) Trijstūris \(NBM\) un trijstūris \(CBA\) ir līdzīgi pēc pazīmes: leņķis, leņķis:
Divi trijstūri ir līdzīgi, ja viena trijstūra divi leņķi ir attiecīgi vienādi ar otra trijstūra diviem leņķiem.
Šajos trijstūros taisnie leņķi \(ACB\) un \(MNB\) ir vienādi un leņķi \(BMN\) un \(CAB\) ir vienādi.
 
Var uzrakstīt līdzīgo trijstūru malu proporciju:
MNAC=BNBCBCNM=BNAC
 
c) Ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju, ja tā pretējo leņķu summas ir \(180\) grādi.
Ap četrstūri \(ANMC\) var apvilkt riņķa līniju, jo C+N=90°+90°=180°, tā kā četrstūra iekšējo leņķu summa ir \(180\) grādi, arī CAN+CMN=180°.
 
YCUZD_221101_4610_Četrstūri_15.svg
 
MAN=MCN, jo tie ir ievilkti leņķi, kuri balstās uz viena loka \(MN\).
 
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa
2014. gada eksāmenā
Matemātikas valsts pārbaudes darbs augstākajā mācību satura apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba programma