Maksimuma uzdevums ekonomikā — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Cehā ražošanas izmaksas atkarībā no saražoto gludekļu apjoma \(x\) ir

C (x) = 300 + 30 x

. Pieprasījuma funkcija atkarībā no cenas \(p\) ir

D (p) = 1000 - 10 p

(gludekļi).

a) Kāda ir peļņas funkcija atkarībā no cenas (eiro)?

b) Kāda cena sniegs maksimālo peļņu?

c) Kāds daudzums jāsaražo, lai sasniegtu maksimālo peļņu?

Risinājums

Peļņa \(=\) ienākumi \(-\) izdevumi (izmaksas).

Ienākumi \(=\) cena \(·\) pieprasījums.

Peļņu ekonomikā parasti apzīmē ar

π (p)

π (p) = p \cdot D (p) - C (x)

Izmaksu funkcija dota atkarībā no apjoma, bet vajadzētu - atkarībā no cenas, tāpēc argumenta \(x\) vietā ievieto pieprasījuma funkciju \(D(p):\)

\begin{array}{l} π (p) = p (1000 - 10 p) - (300 + 30 \cdot (1000 - 10 p)) \\ π (p) = 1000 p - 10 p^{2} - 300 - 30000 + 300 p \\ π (p) = 1300 p - 10 p^{2} - 30300 \end{array}

Iegūta peļņas funkcija, kas atkarīga no \(x\) (saražoto gludekļu apjoma).

Maksimālo peļņu iegūst, atvasinot un aprēķinot kritisko punktu:

\begin{array}{l} π^{'} (p) = {(1300 p - 10 p^{2} - 30300)}^{'} \\ π^{'} (p) = 1300 - 20 p \end{array}

\begin{array}{l} 1300 - 20 p = 0 \\ p = 65 eiro \end{array}

Iegūta cena, kas dos maksimālo peļņu.

Kāds daudzums jāsaražo, lai iegūtu maksimālo peļņu?

Iegūto maksimālās peļņas skaitli ievieto pieprasījuma funkcijā:

D (65) = 1000 - 10 \cdot 65 = 350

(gludekļi)

Atbilde:

a) Peļņas funkcija atkarībā no cenas ir

π (p) = 1300 p - 10 p^{2} - 30300

b) Maksimālo peļņu sasniegs cena \(65\) eiro.

c) Lai sasniegtu maksimālo peļņu, ir jāsaražo \(350\) gludekļi.

Atsauce:

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

5. Maksimuma uzdevums ekonomikā