Trigonometriskie pārveidojumi — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Skola2030 paraugā dotais sasniedzamais rezultāts: risina kompleksu matemātisku problēmu, sasaistot trigonometrijas un citu matemātikas apakšnozaru zināšanas.

Piemērs:

Aprēķini

\sin^{4} x + \cos^{4} x

, ja

\sin x + \cos x = c

Risinājums

\sin x + \cos x = c

abas puses kāpina kvadrātā, pielieto formulu

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\begin{array}{l} {(\sin x + \cos x)}^{2} = c^{2} \\ \sin^{2} x + 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x = c^{2} \\ 2 \sin x \cdot \cos x + 1 = c^{2} \\ \sin x \cdot \cos x = \frac{c^{2} - 1}{2} \end{array}

Šo rezultātu izmantosim tālāk.

1. variants tālākam risinājumam

\begin{array}{l} \sin^{4} α + \cos^{4} α = \\ = {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - 2 \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α = \\ = 1 - 2 \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α = \\ = 1 - 2 {(\frac{c^{2} - 1}{2})}^{2} = \\ = 1 - \frac{c^{4} - 2 c^{2} + 1}{2} = \\ = \frac{1 - c^{4} + 2 c^{2}}{2} \end{array}

2. variants tālākam risinājumam

\sin x + \cos x = c

kāpinām 4. pakāpē, izmantojam Ņūtona binoma izvirzījumu, koeficientus nolasām no Paskāla trijstūra 4. rindas (skat. zemāk)

\begin{array}{l} {(\sin x + \cos x)}^{4} = \\ = \sin^{4} x + 4 \sin^{3} x \cdot \cos x + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x + 4 \sin x {\cdot \cos}^{3} x + \cos^{4} x \end{array}

Tātad

\begin{array}{l} \sin^{4} x + 4 \sin^{3} x \cdot \cos x + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x + 4 \sin x {\cdot \cos}^{3} x + \cos^{4} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x + \underline{4 \sin^{3} x \cdot \cos x + 4 \sin x {\cdot \cos}^{3} x} + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x + 4 \sin x \cos x (\sin^{2} x + \cos^{2} x) + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x + 4 \sin x \cos x \cdot 1 + 6 \sin^{2} x {\cdot \cos}^{2} x = c^{4} \\ \sin^{4} x + \cos^{4} x = c^{4} - 4 \underline{\underline{\sin x \cos x}} - 6 {(\underline{\underline{\sin x \cdot \cos x}})}^{2} \end{array}

Iepriekš jau noskaidrojām, ka

\sin x \cdot \cos x = \frac{c^{2} - 1}{2}

Tātad

\sin^{4} x + \cos^{4} x = c^{4} - 4 \cdot \frac{c^{2} - 1}{2} - 6 \cdot {(\frac{c^{2} - 1}{2})}^{2}

Vienkāršosim labo pusi:

\begin{array}{l} c^{4} - \frac{4 (c^{2} - 1)}{2} - \frac{6 {(c^{2} - 1)}^{2}}{4} = \\ = \frac{2 c^{4}}{2} - \frac{4 (c^{2} - 1)}{2} - \frac{3 (c^{4} - 2 c^{2} + 1)}{2} = \\ = \frac{2 c^{4} - 4 c^{2} + 4 - 3 c^{4} + 6 c^{2} - 3}{2} = \\ = \frac{- c^{4} + 2 c^{2} + 1}{2} \end{array}

Atbilde:

\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{1 - c^{4} + 2 c^{2}}{2}

Uzziņa

\begin{array}{l} {(a + b)}^{n} = \\ = C_{n}^{0} a^{n} b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

5. Trigonometriskie pārveidojumi

Teorija