Kvadrātnevienādību atrisināšana — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

VIDEO KURSS MATEMĀTIKĀ 9. KLASEI

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

Kvadrātnevienādību vispārīgais veids ir

a x^{2} + bx + c > 0 (<, \leq, \geq), kur a \neq 0

Kvadrātnevienādības atrisinājumu kopu viegli noteikt, aptuveni uzskicējot funkcijas

y = a x^{2} + bx + c

grafiku (parabolu).

Kvadrātnevienādības atrisināšanas soļi

1. Nosaka parabolas krustpunktus ar \(x\) asi, atrisinot vienādojumu

a x^{2} + bx + c = 0

Pilnā kvadrātvienādojuma sakņu formulas:

\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 ac \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \end{array}

2. Ņemot vērā sakņu skaitu un koeficienta \(a\) zīmi, skicē parabolas grafiku.

Ja \(a>0\), tad parabolas zari vērsti uz augšu, ja \(a<0\), tad - uz leju.

Svarīgi!

Padoms: ja vēlies, lai parabolas zari vienmēr ir uz augšu, tad, ja \(a<0\), vispirms abas nevienādības puses pareizini ar \(-1\). Neaizmirsti, ka uz pretējo mainīsies arī nevienādības zīme!

Ja \(D>0\), vienādojumam ir divas dažādas saknes, parabola krusto \(Ox\) asi divos punktos.

YCUZD_221202_4762_Kvadrātnevienādības_22.svg

Ja \(D=0\), vienādojumam ir divas vienādas saknes, parabolas virsotne atrodas uz \(Ox\) ass.

YCUZD_221202_4762_Kvadrātnevienādības_6.svg

Ja \(D<0\), vienādojumam nav reālu sakņu, parabola \(Ox\) asi nekrusto.

YCUZD_221202_4762_Kvadrātnevienādības.svg

3. Izvēlas tukšus vai pildītus punktus, atkarībā no nevienādības zīmes veida:

•

, ja nestingrā nevienādības zīme

\leq

vai

\geq

;

o

, ja stingrā nevienādības zīme \(<\) vai \(>\).

4. Iesvītro prasīto intervālu.

Ja ir divi intervāli, izmanto simbolu

\cup

, ko lasa kā "intervālu apvienojums".

5. Uzraksta atbildi.

Piemērs:

1. Atrisini kvadrātnevienādību

4 x^{2} + 4 x - 3 \geq 0

Risinājums:

Lai atrisinātu kvadrātnevienādību, kvadrāttrinomu

a x^{2} + bx + c

pielīdzina nullei un atrod iegūta kvadrātvienādojuma saknes.

\begin{array}{l} 4 x^{2} + 4 x - 3 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 16 + 48 = 64 \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{- 12}{8} = - 1 \frac{1}{2} \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}

Zīmējam koordinātu asi \(x\) un atliekam iegūtas saknes. Nevienādības zīme ir nestingra, tāpēc punkti ir pilni un, pierakstot atbildi, iekavas būs kvadrātveida.

Dotās funkcijas grafiks ir parabola ar zaru vērsumu uz augšu, jo koeficients pie \(x^2\) ir pozitīvs, t.i., \(4\).

Nevienādības zīme ir "lielāks vai vienāds", \(\geqslant\), tad atrisinājumu veido tās x vērtības, kurām atbilstošie parabolas punkti atrodas virs \(x\) ass vai uz tās.

Atbilde: