Kvadrātnevienādības — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Nevienādību, kuras vispārīgais veids ir

a x^{2} + bx + c > 0 (< 0, \leq 0, \geq 0)

, kur $a\neq 0$, sauc par kvadrātnevienādību.

Kvadrātnevienādības atrisinājumu kopu viegli noteikt, aptuveni uzskicējot funkcijas

y = a x^{2} + bx + c

grafiku (parabolu) un nosakot intervālus, kuros funkcijas vērtības ir pozitīvas un kuros - negatīvas.

Kvadrātnevienādības risinājuma soļi

1. Atrisina vienādojumu

a x^{2} + bx + c = 0

Kvadrātvienādojuma saknes aprēķina ar piemērotu metodi. Piemēram, izmantojot pilnā kvadrātvienādojuma sakņu formulas:

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 ac \\ x_{1; 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} \end{array}$

2. Skicē parabolu, ņemot vērā sakņu skaitu un koeficienta $a$ zīmi,

Ja $a > 0$, tad parabolas zari vērsti uz augšu, ja $a < 0$, tad - uz leju.

Padoms: ja vēlies, la parabolas zari vienmēr ir uz augšu, tad, ja $a<0$, vispirms abas nevienādības puses pareizini ar $(-1$). Tikai neaizmirsti, ka uz pretējo mainīsies arī nevienādības zīme.

3. Izvēlas tukšus vai pildītus punktus, atkarībā no nevienādības zīmes veida:

ja nestingrā nevienādības zīme ( $\leq$ vai $\geq$ ), tad ir pildīts punkts;
ja stingrā nevienādības zīme ($<$ vai $>)$, tad ir tukšs punkts.

4. Iesvītro prasīto intervālu.

5. Uzraksta atbildi.

Skicējot parabolu, ievēro, ka parabolas krustpunkti ar $Ox$ asi ir kvadrātvienādojuma saknes.

Ja $D>0$, tad vienādojumam ir divas dažādas saknes, tātad parabola krusto $O$$x$ asi divos punktos. (Attēlā $a>0$).

Ja $D=0$, vienādojumam ir divas vienādas saknes, tad parabolas virsotne atrodas uz $O$$x$ ass. (Attēlā $a>0$).

Ja $D<0$, vienādojumam nav sakņu, tāpēc parabola nekrusto $Ox$ asi. (Attēlā $a>0$).

Piemērs:

1. Atrisini kvadrātnevienādību

x^{2} - 5 x < - 6

Risinājums

\begin{array}{l} x^{2} - 5 x + 6 < 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 = 0 \end{array}

Pēc Vjeta teorēmas:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = c \\ x_{1} + x_{2} = - b \end{cases} \\ \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 6 \\ x_{1} + x_{2} = 5 \end{cases} \\ x_{1} = 2; x_{2} = 3 \end{array}

Atbilde:

x \in (2; 3)

2. Atrisini kvadrātnevienādību

- 2 x^{2} + 4 x - 5 \leq 0

Risinājums

\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 4 x - 5 \leq 0 | \cdot (- 1) \\ 2 x^{2} - 4 x + 5 \geq 0 \\ D = 16 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = - 24 \end{array}

Tātad parabola $Ox$ asi nekrusto.

Parabolai zari ir uz augšu tāpēc, ka skicē ir parādīts pārveidotās kvadrātnevienādības attēls.

No skices redzam, ka parabola ir pozitīva jebkurai $x$ vērtībai.

Atbilde:

x \in (- \infty; + \infty)

jeb

x \in ℝ

, kur $\mathbb{R}$ ir visi reālie skaitļi.

Šeit ir iespēja atkārtot 9. klases tematu Kvadrātnevienādības.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

6. Kvadrātnevienādības

Teorija