Intervālu metodes grafiskais paņēmiens — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA I"

Par daļveida nevienādību sauc tādas nevienādību, kurā mainīgais atrodas saucējā.

Svarīgi!

Risinot daļveida nevienādību,
1) visus locekļus pārnes vienā pusē (lai labajā pusē būtu \(0\));
2) pārveido izteiksmi par daļu (izveido kopsaucēju).

Iegūst nevienādību formā:

\frac{f (x)}{g (x)} < 0

vai

\frac{f (x)}{g (x)} > 0

vai

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

vai

\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0

Viena no daļveida nevienādību atrisināšanas metodēm ir - intervālu metode.

Risinot nevienādību ar intervālu metodi, parasti veic šādus *pārveidojumus:

1) Nosaka tās \(x\) vērtības, ar kurām skaitītājs un saucējs maina zīmi.

Tas ir - skaitītāju un saucēju pielīdzina nullei un atrisina vienādojumus \(f(x)=0\), \(g(x)=0\).

Ievērojot daļas definīcijas apgabalu, uzreiz var rakstīt

g (x) \neq 0

2) Iegūtās \(x\) vērtības atliek uz koordinātu ass, tādējādi koordinātu ass tiek sadalīta vairākos intervālos.

3) Katrā intervālā nosaka daļas skaitītāja \(f(x)\), daļas saucēja \(g(x)\) un daļas

\frac{f (x)}{g (x)}

zīmi.

4) Nosaka dotās daļveida nevienādības atrisinājumu kopu - izvēlas intervālus, kuros ir spēkā dotā nevienādība.

Intervālu metodei ir divi risināšanas paņēmieni - grafiskais un analītiskais.

Metodes atšķiras ar to, kā intervālos nosaka zīmes.

Intervālu metodes grafiskais paņēmiens

Lai noteiktu skaitītāja un saucēja zīmes intervālos, izmanto funkcijas grafika īpašību -

ja grafiks atrodas virs \(Ox\) ass, tad funkcijas vērtības ir pozitīvas,
ja grafiks atrodas zem \(Ox\) ass, tad funkcijas vērtības ir negatīvas.

Iedomāsimies, ka skaitītājs \(f(x)\) ir funkcija un saucējs \(g(x)\) ir funkcija. Skicējam skaitītājam un saucējam atbilstošo funkciju grafikus.

Iepriekš aprēķinātās \(x\) vērtības ir atbilstošās funkcijas nulles (krustpunkts ar \(Ox\) asi).

Pirmās pakāpes polinoma funkcijas grafiks ir taisne, otrās pakāpes polinoma grafiks ir parabola.

Skicējot lineāras funkcijas grafiku, jāņem vērā, kādā gadījumā funkcija aug, kādā - dilst.

Taisne ar \(x\) ass pozitīvo virzienu veido šauru leņķi (ir augoša funkcija), ja koeficients pie mainīgā \(x\) ir pozitīvs. Piemēram, \(y=2x-3\), \(y=0,5x+6\).

Taisne ar \(x\) ass pozitīvo virzienu veido platu leņķi (ir dilstoša funkcija), ja koeficients pie mainīgā \(x\) ir negatīvs. Piemēram, \(y=-2x-3\), \(y=3-x.\)

Skicējot parabolu, svarīgi ievērot zaru vērsumu (uz augšu, uz leju).

Parabolas zari ir vērsti uz augšu, ja koeficients \(a\) pie kvadrātiskā locekļa ir pozitīvs, piemēram

y = 3 x^{2} + 2 x - 1

, šeit \(a=3\).

Parabolas zari ir uz leju, ja šis koeficients ir negatīvs, piemēram,

y = 4 - x^{2}

, šeit \(a=-1\).

Piemērs:

1. Atrisini nevienādību

\frac{2 x + 2}{x - 8} \geq 1

Risinājums

\begin{array}{l} \frac{2 x + 2}{x - 8} - 1 \geq 0 \\ \frac{2 x + 2}{x - 8} - 1^{((x - 8)} \geq 0 \\ \frac{2 x + 2 - (x - 8)}{x - 8} \geq 0 \\ \frac{x + 10}{x - 8} \geq 0 \end{array}

\begin{array}{l} x + 10 = 0 \\ x = - 10 \end{array}

\begin{array}{l} x - 8 \neq 0 \\ x \neq 8 \end{array}

Gan skaitītājā, gan saucējā ir lineāras funkcijas izteiksme, šo abu funkciju grafiki ir taisnes. Tā kā koeficients pie \(x\) abās izteiksmēs ir pozitīvs, t.i., \(1\), tad abas taisnes veido šauro leņķi ar \(x\) asi (ir augošas).

Uz \(x\) ass atliek iegūtās \(x\) vērtības: \(x = -10\) kā pilno punktu un \(x = 8\) kā tukšo punktu.

Sadala zīmējumu intervālos, kas iet caur atliktajiem punktiem \(x = -10\) un \(x = 8\).

Atliek pozitīvās un negatīvās zīmes pie taisnēm (atkarībā no tā, vai taisnes daļa ir virs \(Ox\) ass vai zem).

Nosaka un iekrāso prasītos pozitīvos intervālus (skat. zīm.).

Atbilde:

x \in (- \infty; -10] \cup (8; + \infty)

2. Atrisini nevienādību

\frac{a - 2}{4 a^{2} - 1} > 0

Risinājums

\(a-2=0\)

\(a=2\)

\begin{array}{l} 4 a^{2} - 1 \neq 0 \\ 4 a^{2} \neq 1 \\ a^{2} \neq \frac{1}{4} \\ a \neq \frac{1}{2}; a \neq - \frac{1}{2} \end{array}

Nosaka vienādzīmju intervālus.

Skaitītāja funkcijas grafiks ir augoša taisne, kas krusto \(x\) asi punktā \(2\) (nevienādībai ir stingrā nevienādības zīme, tāpēc punkts ir tukšs).

Saucēja funkcija ir parabola ar zariem uz augšu (punkti ir tukši, ievērojot definīcijas apgabalu).

Nolasa atrisinājumu - intervālus, kuros dotā daļa ir pozitīva.

Atbilde:

a \in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \cup (2; + \infty)

Vingrinies!

Vispārīgā gadījumā intervālu metodi izmanto tādu nevienādību atrisināšanā, kas uzrakstītas formā

\begin{array}{l} A (x) \cdot B (x) \cdot C (x) \cdot ...> 0 (vai < \leq \geq) \\ vai \\ \frac{A (x) \cdot B (x) \cdot ...}{C (x) \cdot D (x) \cdot ...} > 0 (vai < \leq \geq) \end{array}

Intervālu metodei ir divi risināšanas paņēmieni - grafiskais un analītiskais. Tālāk aplūkosim analītisko paņēmienu.

* Intervālu metodes pirmais solis ir kreisās puses izteiksmes sadalīšana reizinātājos. Taču SKOLA2030 paraugprogrammā ir norādīts: "Vingrinās lietot grafisko intervālu metodi, lai atrisinātu daļveida nevienādības pamatformā (skaitītājs un saucējs ir pirmās vai otrās pakāpes polinoms)." Var secināt, ka matemātika I kursā nav jārisina nevienādība, kurā skaitītājā vai saucējā veic sadalīšanu reizinātājos.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA I"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

3. Intervālu metodes grafiskais paņēmiens

Teorija