Eksponentvienādojums ar substitūcijas metodi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Par algebriskiem vienādojumiem var reducēt tādus eksponentvienādojumus, kuros vairākās vietās kā darbības loceklis ir pakāpe ar vienu un to pašu bāzi, kāpinātu nezināmā

x

pakāpē.

Tādā gadījumā lieto substitūciju, šo darbības locekli apzīmējot ar jaunu mainīgo.

Piemērs:

Atrisini eksponentvienādojumu

4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

Risinājums:

Rakstiski vai galvā pārveido pakāpi:

4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = 2^{x \cdot 2} = {(2^{x})}^{2}

Iegūst

{(2^{x})}^{2} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

Apzīmē

2^{x} = y

Iegūst kvadrātvienādojumu

y^{2} - 9 y + 8 = 0

, kura saknes ir

y_{1} = 8

vai

y_{2} = 1

Atgriežas pie substitūcijas:

\begin{array}{l} 2^{x} = 8 \\ 2^{x} = 2^{3} \\ x = 3 \end{array}

\begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x} = 2^{0} \\ x = 0 \end{array}

Atbilde:

x = 0

;

x = 3

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

\frac{3}{2^{x} + 1} + \frac{5}{2^{x} + 3} = 2

Risinājums:

2^{x} = y

\frac{3}{y + 1} + \frac{5}{y + 3} = 2

{\frac{3}{y + 1}}^{(y + 3} + {\frac{5}{y + 3}}^{(y + 1} - 2^{((y + 1) (y + 3)} = 0

\frac{3 y + 9 + 5 y + 5 - {2 y}^{2} - 8 y - 6}{(y + 1) (y + 3)} = 0

Daļa ir vienāda ar 0, ja tās skaitītājs ir 0, bet saucējs nav 0.

{- 2 y}^{2} + 8 = 0

y^{2} - 4 = 0

y^{2} = 4

y_{1} = - 2; y_{2} = 2

Def. apg.

(y + 1) (y + 3) \neq 0

y + 1 \neq 0; y + 3 \neq 0

y \neq - 1; y \neq - 3

Atgriežas pie substitūcijas

\begin{array}{l} 2^{x} = - 2 \\ x \in \emptyset, \end{array}

2^{x} > 0

\begin{array}{l} 2^{x} = 2 \\ 2^{x} = 2^{1} \\ x = 1 \end{array}

Atbilde:

x = 1

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

2^{1 + x} - 2^{1 - x} = 7, 5

Risinājums:

Lieto pakāpju īpašības:

2^{1} \cdot 2^{x} - 2^{1} \cdot 2^{- x} = 7, 5

2 \cdot 2^{x} - \frac{2}{2^{x}} = 7, 5

2^{x} = y > 0

2 y - \frac{2}{y} = 7,5

(Def. apg.

y \neq 0

)

{2 y}^{2} - 7,5 y - 2 = 0

y_{1} = 4; y_{2} = - 0,25

\begin{array}{l} 2^{x} = 4 \\ 2^{x} = 2^{2} \\ x = 2 \end{array}

\begin{array}{l} 2^{x} = - 0,25 \\ x \in \emptyset, \end{array}

2^{x} > 0

Atbilde:

x = 2

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Eksponentvienādojums ar substitūcijas metodi

Teorija