Varbūtību reizināšanas teorēma — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Iepazīsimies ar varbūtību reizināšanas teorēmu. Vispirms skat. formulu lapu.

Ja $A$ un $B$ - neatkarīgi notikumi, tad

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Ja $A$ un $B$ atkarīgi notikumi, tad

P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Atkarīgu notikumu reizinājuma varbūtība

No sakarības

P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

, var izteikt notikumu reizinājuma varbūtību (varbūtība, ka iestājas gan notikums $A$, gan notikums $B$).

Iegūst:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)

, ja

P (A) \neq 0

No sakarības

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

(P (B) \neq 0)

arī var izteikt notikumu reizinājuma varbūtību: $P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A | B)$ .

Jebkuriem diviem notikumiem $A$ un $B$, kur $B$ nav neiespējams notikums, t.i.,

(P (B) \neq 0)

, ir pareizas vienādības

\begin{array}{l} P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A | B), \\ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A) . \end{array}

Neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtība

Divus notikumus sauc par neatkarīgiem, ja viena notikuma iestāšanās varbūtība neietekmē otra notikuma iestāšanās.

Ja notikumi ir neatkarīgi, tad pēc definīcijas

P (A | B) = P (A)

P (B | A) = P (B)

Ja notikumi A un B ir neatkarīgi: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Aplūkosim neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtības piemēru.

Piemērs:

Vienā grozā ir $4$ baltas un $16$ melnas bumbiņas. Otrā grozā ir $6$ baltas un $4$ melnas bumbiņas. No katra groza uz labu laimi paņem pa vienai bumbiņai. Aprēķini varbūtību, ka abas bumbiņas ir baltas!

Risinājums

Izvēlamies notikumus:

$A$ - "no pirmā groza nejauši izņemta bumbiņa ir balta",

$K$ - "no otrā groza nejauši izņemta bumbiņa ir balta".

A \cap K

- "abas bumbiņas ir baltas".

Notikumi $A$ un $K$ ir neatkarīgi. Viena notikuma iestāšanās varbūtība neietekmē otra notikuma iestāšanos.

Tātad

P (A \cap K) = P (A) \cdot P (K) = \frac{4}{20} \cdot \frac{6}{10} = \frac{3}{25}

Tālāk aplūko piemēru varbūtību reizināšanas likumam atkarīgiem notikumiem.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Varbūtību reizināšanas teorēma

Teorija