Divu taišņu perpendikularitātes nosacījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

No pamatskolas kursa ir zināms, ka taisnes

y = k_{1} x + b_{1}

y = k_{2} x + b_{2}

ir paralēlas (nekrustojas), tad to virzienu koeficienti ir vienādi,

k_{1} = k_{2}

Kā noteikt taisnes, kas veido taisnu leņķi jeb ir perpendikulāras?

Ja taisnes dotas ar vienādojumiem

y = k_{1} x + b_{1}

y = k_{2} x + b_{2}

, tad taišņu perpendikularitātes nosacījums ir

k_{2} = - \frac{1}{k_{1}}

jeb

k_{1} \cdot k_{2} = - 1

Perpendikulāru taišņu virziena koeficienti ir savstarpēji apgriezti skaitļi un ar pretējām zīmēm.

Piemērs:

Uzraksti vienādojumu taisnei, kura iet caur punktu \(K(2;3)\) un ir perpendikulāra taisnei

5 x - 4 y - 20 = 0

Risinājums

Iegūst dotās taisnes virziena koeficientu:

\begin{array}{l} 5 x - 4 y - 20 = 0 \\ - 4 y = - 5 x + 20 \\ y = \frac{5}{4} x - 5 \\ k_{1} = \frac{5}{4} \end{array}

Nosaka meklētās taisnes virziena koeficientu:

k_{2} = - \frac{4}{5}

Pārbaude:

\frac{5}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - 1

Nosaka perpendikulārās taisnes vienādojumu

Formula, kā nosaka taisnes vienādojumu, ja zināms viens punkts un virziena koeficients:

y - y_{1} = k (x - x_{1})

Punkts \(K(2;3)\) un koeficients

k_{2} = - \frac{4}{5}

\begin{array}{l} y - 3 = - \frac{4}{5} (x - 2) \\ y - 3 = - \frac{4}{5} x + \frac{8}{5} \\ y = - \frac{4}{5} x + 1 \frac{3}{5} + 3 \\ y = - \frac{4}{5} x + 4 \frac{3}{5} \end{array}

Dotajai taisnei perpendikulāras taisnes vienādojums ir

y = - \frac{4}{5} x + 4 \frac{3}{5}

Ja uzdevumā būtu prasīts iegūt vispārīgo vienādoju, tad

b_{2}

pārveidotu par neīstu daļu:

y = - \frac{4}{5} x + \frac{23}{5}

Pareizinot abas vienādojuma puses ar \(5\), iegūtu taisnes vispārīgo vienādojumu:

4 x + 5 y - 23 = 0

Perpendikulāru taišņu īpašību var pielietot, lai uzzinātu vairāk informācijas par figūru, kas uzdota ar koordinātām.

Piemēram, noskaidro

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

2. Divu taišņu perpendikularitātes nosacījums