Kā aprēķina attālumu no punkta līdz taisnei — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Aplūkosim soļus, kā nosaka attālumu no punkta

(x_{1}; y_{1})

, kuram dotas koordinātas, līdz taisnei, kas dota ar vienādojumu

y = k_{1} x + b_{1}

Attālumu no punkta līdz taisnei plaknē nosaka, izmantojot sakarību starp virziena koeficientiem perpendikulāru taišņu vienādojumos un formulu attālumam starp diviem punktiem plaknē.

1. Nosaka perpendikulāras taisnes virziena koeficientu.

Perpendikulāru taišņu vienādojumu sakarība:

Taisnes

y = k_{1} x + b_{1}

y = k_{2} x + b_{2}

ir perpendikulāras, ja

k_{1} \cdot k_{2} = - 1

k_{2} = - \frac{1}{k_{1}}

Piemēram, taisnes

y = 2 x + 1

y = - \frac{1}{2} x + 5

ir perpendikulāras, jo

2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

2. Nosaka perpendikulāras taisnes vienādojumu, pēc formulas $y - y_{1} = k (x - x_{1})$ .

3. Nosaka abu taišņu krustpunkta koordinātas.

Divu taišņu

y = k_{1} x + b_{1}

y = k_{2} x + b_{2}

krustpunkta koordinātas

(x_{2}; y_{2})

var noteikt, atrisinot vienādojumu

k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2}

. Atrasto $x$ vērtību ievieto vienā no taisnes vienādojumiem, iegūst $y$ vērtību.

4. Nosaka attālumu starp doto punktu un perpendikulāro taišņu krustpunktu.

Attālumu starp diviem punktiem

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

aprēķina, izmantojot formulu

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Piemērs:

Aprēķini attālumu no punkta $(3;-4)$ līdz taisnei

y = - \frac{1}{2} x - 4

1) Attālums ir perpendikuls. Dotajai taisnei perpendikulāras taisnes virziena koeficients ir $k=2$, jo

k_{1} \cdot k_{2} = - 1

. Pārbaude:

2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

2) Nosaka perpendikulārās taisnes vienādojumu, ja koeficients $k=2$ un punkta koordinātas ir $(3;-4).$

\begin{array}{l} y - y_{1} = k (x - x_{1}) \\ y - (- 4) = 2 (x - 3) \\ y + 4 = 2 x - 6 \\ y = 2 x - 10 \end{array}

Tātad perpendikulārās taisnes vienādojums ir

y = 2 x - 10

3) Atrod dotās taisnes

y = - \frac{1}{2} x - 4

un tai perpendikulārās taisnes

y = 2 x - 10

krustpunkta koordinātas, atrisinot vienādojumu

\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - 4 = 2 x - 10 \\ - \frac{1}{2} x - 2 x = 4 - 10 \\ - 2, 5 x = - 6 \\ x = 6 : 2, 5 \\ x = 2, 4 \end{array}

Lai iegūtu krustpunkta $y$ vērtību, ievieto $x$ vērtību vienā no taisnes vienādojumiem.

\begin{array}{l} y = 2 x - 10 \\ y = 2 \cdot 2, 4 - 10 \\ y = 4, 8 - 10 \\ y = - 5, 2 \end{array}

Tātad taisnes krustojas punktā

(2, 4; - 5, 2)

4) Attālumu starp diviem punktiem $(3;-4)$ un

(2, 4; - 5, 2)

aprēķina, izmantojot formulu

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

\begin{array}{l} d = \sqrt{{(2, 4 - 3)}^{2} + {(- 5, 2 - (- 4))}^{2}} \\ d = \sqrt{{(- 0, 6)}^{2} + {1, 2}^{2}} \\ d = \sqrt{0, 36 + 1, 44} \\ d = \sqrt{1, 8} \end{array}

Izmantojot funkciju zīmēšanas rīkus, varam ilustrēt doto situāciju.

Atbilde: Attālums no punkta (3;-4) līdz taisnei

y = - \frac{1}{2} x - 4

\sqrt{1, 8}

, kas, noapaļojot līdz simtdaļām, ir $1,34.$

Atsauce:

Izmantoti Skola 2030 materiāli

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Kā aprēķina attālumu no punkta līdz taisnei

Teorija