Punktu kopa vienādā attālumā no nogriežņa galapunktiem — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA I"

Vai vari atrisināt?

Uzdevums: Nosaki to plaknes punktu kopas vienādojumu, kuri atrodas vienādā attālumā no punktiem $A(2;4)$ un $B(4;6).$

Vienādojumam ar mainīgajiem $x$ un $y$ plaknē atbilst līnija - visu to punktu kopa, kuru koordinātas apmierina doto vienādojumu. Un otrādi - plaknes līnijai (punktu kopai) atbilst vienādojums ar mainīgajiem $x$ un $y$.

Kādas līnijas punktu kopu var saukt arī par šo punktu ģeometrisko vietu.

Tātad dotajā uzdevumā ir prasīts noteikt punktu ģeometriskās vietas vienādojumu.

Atkārtosim vienu no 7. klasē apgūtajiem jēdzieniem.

Par nogriežņa vidusperpendikulu sauc taisni, kas perpendikulāra šim nogrieznim un iet caur tā viduspunktu.

Attēlā parādīta vidusperpendikula konstrukcija: dotam nogrieznim $AB$, novilkts vidusperpendikuls $VP$.

Vidusperpendikuls ir to punktu ģeometriskā vieta, kam izpildās īpašība: visi šie punkti atrodas vienādā attālumā no nogriežņa galapunktiem.

Ja $VP$ ir nogriežņa $AB$ vidusperpendikuls, tad i zpildās vienādība: $TB=TA$ , $AK=BK$ un $AH=BH$

Jebkurš uz vidusperpendikula atliktais punkts atrodas vienādā atālumā līdz nogriežņa galapunktiem:

Šo punktu ir bezgalīgi daudz. Tie veido taisni, jo vidusperpendikuls ir taisne.

Mūsu uzdevums - noteikt šīs taisnes vienādojumu.

Piemērs:

Uzraksti to plaknes punktu kopas vienādojumu, kuri atrodas vienādā attālumā no punktiem $A(2;4)$ un $B(4;6).$

Vienādojumu pieraksti vispārīgā veidā!

Risinājums

Pēc dotā, prasītā punktu kopa ir $[AB$$]$ vidusperpendikuls.

1) aprēķināsim taisnes $AB$ vienādojuma virziena koeficientu $k:$

$A(2;4)$ un $B(4;6).$

k = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{6 - 4}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1

2) noteiksim taisnei $AB$ perpendikulāras taisnes vienādojuma virziena koeficientu.

k_{1} = 1

, tad

k_{2} = - \frac{1}{1} = - 1

3) noteiksim $[AB]$ viduspunkta $C$ koordinātas

$\begin{array}{l} C (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) \\ C (\frac{2 + 4}{2}; \frac{4 + 6}{2}) \\ C (3; 5) \end{array}$

4) atradīsim tādas taisnes vienādojumu, kurai $k=-1$ un tā iet caur punktu $C(3;5):$

y - y_{1} = k (x - x_{1})

\begin{array}{l} y - y_{C} = k (x - x_{C}) \\ y - 5 = - 1 (x - 3) \\ y - 5 = - x + 3 \\ y + x - 5 - 3 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{array}

Esam atraduši to plaknes punktu kopas vienādojumu, kuri atrodas vienādā attālumā no dotajiem punktiem $A(2;4)$ un $B(4;6).$

Cits risinājums, izmantojot nogriežņa (vektora) garumu.

Pieņemsim, ka punkts $M$ pieder pie dotās kopas (skat. zīm.). Tādā gadījumā $|MA|=|MB|.$

Uzrakstām abu nogriežņu garumu:

\begin{array}{l} |MA| = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \\ |MB| = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2}} \end{array}

Ja $|MA|=|MB|,$ tad

\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2}}

Abas vienādojuma puses kāpinot kvadrātā, iegūst:

\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} \\ x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16 = x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 12 y + 36 \\ - 4 x + 4 - 8 y + 16 = - 8 x + 16 - 12 y + 36 \\ - 4 x + 4 - 8 y + 16 + 8 x - 16 + 12 y - 36 = 0 \\ 4 x + 4 y - 32 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{array}

Kopa, kuras punkti apmierina uzdevuma nosacījumu, ir taisne

x + y - 8 = 0

. Kā zināms, šī taisne ir nogriežņa $AB$ vidusperpendikuls.

Punktu ģeometriskā vieta var būt arī otrās kārtas līnija.

Pēc definīcijas, visu to punktu ģeometrisko vietu plaknē, kuri atrodas vienādā attālumā no viena punkta, sauc par riņķa līniju.

Tās vienādojums ir

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}

, kur

(x_{0}; y_{0})

ir r. l. centra koordinātas un $R$ ir rādiuss. Par to mācīsies tālāk.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA I"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

4. Punktu kopa vienādā attālumā no nogriežņa galapunktiem

Teorija