Aritmētiskā progresija. Atkārtojums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, ja iepriekšējam pieskaita vienu un to pašu skaitli (diferenci \(d\)), sauc par aritmētisko progresiju.

Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula ir

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Ja izvēlas trīs secīgus virknes locekļus, ir patiesa īpašība:

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}

Piemērs:

Ja dota aritmētiskā progresija \(2\); \(6\); \(10\); \(14\); \(18\); ...., redzam:

\begin{array}{l} 6 = \frac{2 + 10}{2} \\ 14 = \frac{10 + 18}{2} \end{array}

utt.

Aritmētiskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summa ir

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

Piemērs:

Taisnleņķa trijstūra īsākā katete ir \(6\ \mathrm{cm}\). Aprēķini pārējo malu garumus, ja zināms, ka šī trijstūra malu garumi veido aritmētisko progresiju.

Risinājums:

Ja \(d\) ir aritmētiskās progresijas diference, tad malu garumus var izteikt šādi:

\(b = 6\)

\(a = 6 + d\)

\(c = 6 + 2d\)

Taisnleņķa trijstūrim izpildās Pitagora teorēma:

\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ {(6 + 2 d)}^{2} = {(6 + d)}^{2} + 6^{2} \\ 36 + 24 d + 4 d^{2} = 36 + 12 d + d^{2} + 36 \\ 3 d^{2} + 12 d - 36 = 0 \\ d^{2} + 4 d - 12 = 0 \\ d_{1} = 2 \\ d_{2} = - 6 (neder) \end{array}

Ja diference ir \(d = 2\), tad \(a = 8\) \(\mathrm{cm}\); \(c = 10\) \(\mathrm{cm}\).
(Diference nevar būt negatīva, jo tad hipotenūzas garums būtu negatīvs lielums)

Atbilde: Trijstūra malu garumi ir \(6\) \(\mathrm{cm}\); \(8\) \(\mathrm{cm}\); \(10\) \(\mathrm{cm}\).

Piemērs:

Ķermenis brīvā kritiena pirmajā sekundē veic \(4,9\) \(\mathrm{m}\), bet katrā nākamā par \(9,8\) \(\mathrm{m}\) vairāk. Aprēķini šahtas dziļumu, ja tas sasniedz tās apakšu pēc \(5\) sekundēm.

Risinājums:
Pirmais loceklis \(a_1 = 4,9\) \(\mathrm{m}\), diference \(d = 9,8\) \(\mathrm{m}\), locekļu skaits \(n = 5\).

Šahtas dziļums ir katrā no piecām sekundēm veikto attālumu summa.

Vispirms jāaprēķina virknes pēdējais loceklis:

\begin{array}{l} {a_{5} = 4,9 + (5 - 1) \cdot 9,8 = 44,1}_{} \\ S_{5} = \frac{(a_{1} + a_{5}) \cdot 5}{2} = \frac{(4,9 + 44,1) \cdot 5}{2} = 122,5 m \end{array}

Atbilde: Šahtas dziļums ir \(122,5\) metri.

Vienkāršus uzdevumus par aritmētisko progresiju vari vingrināties 8. klases tēmā Virknes. Aritmētiskā progresija.

Formulas var atrast matemātikas eksāmena formulu lapā: formulas

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Aritmētiskā progresija. Atkārtojums

Teorija