Dispersija un standartnovirze — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Lielumi, kas raksturo datu izkliedi ap aritmētisko vidējo ir vidējā absolūtā novirze, dispersija un standartnovirze.

Dota datu kopa

\{x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}; ...; x_{n}\}

, tās aritmētiskais vidējais ir

\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{n}}{n}

1. Aprēķinot aritmētiskā vidējā un datu kopas elementa starpības absolūto vērtību, iegūst absolūto novirzi.

a_{1} = |x_{1} - \bar{x}|, a_{2} = |x_{2} - \bar{x}|, ..., a_{n} = |x_{n} - \bar{x}|

2. Nosakot iegūto vērtību aritmētisko vidējo, iegūst vidējo absolūto novirzi.

\frac{\sum a_{i}}{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}

3. Kāpinot absolūtās novirzes kvadrātā, iegūst novirzes kvadrātus, šo lielumu aritmētisko vidējo sauc par dispersiju, to apzīmē ar

s^{2}

. Par dispersiju sauc vidējo kvadrātisko novirzi no vidējā aritmētiskā.

s^{2} = \frac{\sum a_{i}^{2}}{n} = \frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + {a_{n}^{2}}^{}}{n}

Dispersiju statistikā lieto kā starprezultātu, lai no tās izveidotu citus būtiskākus rādītājus, piemēram, standartnovirzi.

4. Izvelkot kvadrātsakni no dispersijas, iegūst standartnovirzi, ko apzīmē ar

s

Standartnovirze ir kvadrātsakne no dispersijas.

s = \sqrt{s^{2}}

s = \sqrt{\frac{\sum a_{i}^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + {a_{n}^{2}}^{}}{n}}

Svarīgi!

Ja dati ir sakārtoti biežuma tabulā, tad

s = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} \cdot b_{1} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} \cdot b_{2} + ... + {(x_{k} - \bar{x})}^{2} \cdot b_{k}}{n}}

Ja izmanto summas simbolu, tad

s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{k} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot b_{i}}{n}}

(Atceries - $k$ nav tas pats, kas $n$.)

Lai aprēķinātu standartnovirzi, ievēro soļus:

1. Aprēķina

\bar{x}

jeb datu kopas vidējo (aritmētisko) vērtību;

2. Aprēķina

(x_{i} - \bar{x})

jeb katras pazīmes absolūto novirzi no vidējās vērtības;

3. Aprēķina

{(x_{i} - \bar{x})}^{2}

jeb katras absolūtās novirzes kvadrātu;

4. Aprēķina

{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}

- kvadrātu noviržu summu;

5. Aprēķina

\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}

- noviržu kvadrātu vidējo vērtību, t.i. dispersiju

s^{2}

;

6. Aprēķina standartnovirzi

s = \sqrt{s^{2}}

Aprēķinus veikt ir daudz vieglāk, ja attiecīgās darbības attēlo tabulā.

x_{i}

- datu kopas pazīmes vērtības

Piemērs:

$x_i$	$\bar{x}$	$x_{i} - \bar{x}$	${(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$7$	$7,8$	$-0,8$	$0,64$
$9$	$7,8$	$1,2$	$1,44$
$8$	$7,8$	$0,2$	$0,04$
$11$	$7,8$	$3,2$	$10,24$
$4$	$7,8$	$-3,8$	$14,44$
			$26,80$

Tabulā izmantojām vērtību

\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{7 + 9 + 8 + 11 + 4}{5} = \frac{39}{5} = 7,8

Piemērā redzams, ka noviržu kvadrātu summa ir $26,8$. (4. solis.)

Izpilda 5. soli: $26,8 : 5 = 5,36$
Tabulā doto datu standartnovirze ir

s = \sqrt{5, 36} \approx 2, 3

Ja ir dots pazīmes vērtību biežums, tad izdevīgi ir sastādīt šādu tabulu:

$x_{i}$	$b_{i}$	$(x_{i} - \bar{x})$	${(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	${(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot b_{i}$
...	...	...	...	…

Atsauce:

Skola2030 mācību un metodiskie līdzekļi

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

\(x_i\)	$\bar{x}$	$x_{i} - \bar{x}$	${(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
\(7\)	\(7,8\)	\(-0,8\)	\(0,64\)
\(9\)	\(7,8\)	\(1,2\)	\(1,44\)
\(8\)	\(7,8\)	\(0,2\)	\(0,04\)
\(11\)	\(7,8\)	\(3,2\)	\(10,24\)
\(4\)	\(7,8\)	\(-3,8\)	\(14,44\)
			\(26,80\)

4. Dispersija un standartnovirze

Teorija