Trigonometriskie vienādojumi. Substitūcijas metode — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Lietojot substitūcijas metodi, trigonometriskais vienādojums tiek aizstāts ar algebrisku vienādojumu. Trigonometriskajā vienādojumā kādu no vienādojuma daļām aizstāj ar jaunu mainīgo.

Piemērs:

Atrisināsim vienādojumu

\sin^{2} x - 2 sinx - 3 = 0

ar substitūcijas metodi.

Tā kā vienādojums satur tikai funkciju \(sinx\), apzīmē

sinx = y

Iegūst kvadrātvienādojumu

y^{2} - 2 y - 3 = 0

Atrisinot šo vienādojumu ar Vjeta teorēmu (vai, izmantojot diskriminantu), iegūst saknes

y_{1} = 3; y_{2} = - 1

Tālāk dotais vienādojums reducējas uz divu trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu:

\(sinx=3\) un \(sinx=-1\)

Pirmajam vienādojumam atrisinājuma nav, jo

- 1 \leq sinx \leq 1

Atrisina otro vienādojumu:

\begin{array}{l} sinx = - 1 \\ x = - \frac{π}{2} + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

Atbilde:

x = - \frac{π}{2} + 2 π n, n \in ℤ

Ja vienādojumā nav viena nosaukuma trigonometriskās funkcijas, vispirms vienādojumu pārveido, lai tas saturētu tikai viena nosaukuma trigonometrisko funkciju.

Bieži izmanto trigonometrisko identitāti