Trigonometriskā pamatidentitāte, sin, cos — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Par trigonometrisko identitāti sauc tādu vienādību, kas satur viena argumenta vai vairāku argumentu trigonometriskās funkcijas un ir patiesa visām šo argumentu pieļaujamām vērtībām.

Viena un tā paša argumenta sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar 1.

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

Šo sakarību sauc arī par trigonometrisko pamatidentitāti un tā ir patiesa jebkuram argumentam.

Piemēram,

\begin{array}{l} \sin^{2} 6 α + \cos^{2} 6 α = 1 \\ \sin^{2} (61 ° + x) + \cos^{2} (61 ° + x) = 1 \\ \sin^{2} \frac{β}{7} + \cos^{2} \frac{β}{7} = 1 \end{array}

No trigonometriskās identitātes

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

var secināt, ka

\begin{array}{l} \sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α \\ \cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α \end{array}

Šīs sakarības izmanto izteiksmju vienkāršošanā.

Piemērs:

Vienkāršosim izteiksmi

6 - \sin^{2} 2 α - \cos^{2} 2 α

\begin{array}{l} 6 - \sin^{2} 2 α - \cos^{2} 2 α = \\ = 6 - (\sin^{2} 2 α + \cos^{2} 2 α) = \\ = 6 - 1 = 5 \end{array}

Dažreiz pārveidojumos izmanto arī saīsinātās reizināšanas formulas.

Piemērs:

Vienkāršo

{(sinx + cosx)}^{2}

Pielieto saīsinātās reizināšanas formulu

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

\begin{array}{l} {(sinx + cosx)}^{2} = \\ = \sin^{2} x + 2sinx \cdot cosx + \cos^{2} x = \\ = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2sinx \cdot cosx = \\ = 1 + 2sinx \cdot cosx \end{array}

Izdarot pārveidojumus, izteiksmei var pazemināt pakāpi.

Piemērs:

Vienkāršo

\sin^{4} x - \cos^{4} x

Pielieto saīsinātās reizināšanas formulu

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

\begin{array}{l} \sin^{4} x - \cos^{4} x = \\ = (\sin^{2} x - \cos^{2} x) (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = \\ = (\sin^{2} x - \cos^{2} x) \cdot 1 = \\ = \sin^{2} x - \cos^{2} x \end{array}

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Trigonometriskā pamatidentitāte, sin, cos

Teorija