Kolineāri vektori telpā — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie atrodas uz vienas taisnes vai uz paralēlām taisnēm.

Kolineārus vektorus pieraksta tāpat kā pieraksta paralēlas taisnes vai nogriežņus:

\vec{a} ∥ \vec{b}

ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

ir kubs. Nosauc trīs vektorus, ka ir kolineāri ar vektoru

\vec{B_{1} B}

Izvēlamies vektorus, kuri atrodas uz kuba paralēlajām šķautnēm

\begin{array}{l} \vec{B_{1} B} ∥ \vec{A_{1} A} \\ \vec{B_{1} B} ∥ \vec{{A A}_{1}} \\ \vec{B_{1} B} ∥ \vec{D_{1} D} \end{array}

Pazīme: Divi vektori ir kolineāri, ja to atbilstošās koordinātas ir proporcionālas:

\frac{a_{x}}{b_{x}} = \frac{a_{y}}{b_{y}} = \frac{a_{z}}{b_{z}} = λ

Var teikt arī tā: vektori

\vec{a}

\vec{b}

ir kolineāri tad un tikai tad, ja eksistē tāds skaitlis

λ

, ka

\vec{a} = λ \vec{b}

(vektoru koordinātas atšķiras ar vienu un to pašu reizinātāju

λ

)

Piemērs:

Vektori

\vec{a} = (3; - 12; 30)

\vec{b} = (- 1; 4; - 10)

ir kolineāri, jo

\frac{3}{- 1} = \frac{- 12}{4} = \frac{30}{- 10} = - 3

. Tātad

\vec{a} = - 3 \vec{b}

vai arī

\vec{b} = - \frac{1}{3} \vec{a}

Aplūkosim pielietojumu.

Piemērs:

Telpā doti trīs punkti \(M(1;2;3)\), \(K(5;3;2)\) un \(L(9;4;1)\). Pierādi, ka šie punkti atrodas uz vienas taisnes.

Punkti \(M\), \(K\) un \(L\) atrodas uz vienas taisnes, ja

\vec{MK}

\vec{ML}

ir kolineāri.

Kolineāri vektori atrodas uz vienas vai paralēlām taisnēm, bet kopīgais sākumspunkts \(M\) nodrošina to, ka tie atradīsies uz vienas taisnes.

Aprēķinām vektoru koordinātas:

\begin{array}{l} \vec{MK} = (5 - 1; 3 - 2; 2 - 3) = (4; 1; - 1) \\ \vec{ML} = (9 - 1; 4 - 2; 1 - 3) = (8; 2; - 2) \end{array}

Pārbaudām, vai vektori ir kolineāri:

\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = \frac{- 1}{- 2}

Secinājums: vektori ir kolineāri

\vec{MK} ∥ \vec{ML}

, tātad punkti \(M\), \(K\), \(L\) atrodas uz vienas taisnes.

Atkārto arī kolineāru vektoru izmantošanu plaknē

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

6. Kolineāri vektori telpā